Площадь трапеции

Площадь трапеции

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны называют основаниями, непараллельные — боковыми сторонами, а расстояние между основаниями — высотой. Площадь трапеции вычисляют по формуле S = ((a + b) / 2)·h, где a и b — основания, а h — высота.

Как понять формулу

Выражение (a + b) / 2 — это длина средней линии трапеции, то есть отрезка, соединяющего середины боковых сторон. Поэтому формулу читают так: площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту. Если обозначить среднюю линию m, то S = m·h. Это удобно, когда среднюю линию по условию уже знают.

Вывести формулу можно разными способами. Самый наглядный — провести диагональ: она делит трапецию на два треугольника с общей высотой, но разными основаниями a и b. Сложив их площади (1/2)·a·h и (1/2)·b·h, получают (1/2)·(a + b)·h, что совпадает с формулой.

Разбор примера

Основания трапеции равны a = 8 и b = 12, высота h = 5. Найдём площадь, подставив значения в формулу.

S = ((8 + 12) / 2)·5
S = (20 / 2)·5 = 10·5 = 50

Площадь равна 50 квадратным единицам. Заметим, что число 10 здесь — это и есть средняя линия трапеции.

Площадь через диагонали

Если известны диагонали d_1 и d_2 и угол α между ними, то площадь любого выпуклого четырёхугольника, в том числе трапеции, равна S = (1/2)·d_1·d_2·sin α. Этот способ применяют, когда высота неизвестна, а диагонали заданы.

Равнобедренная трапеция

У равнобедренной трапеции боковые стороны равны, а углы при каждом основании равны между собой. Около неё всегда можно описать окружность, а её диагонали равны. Для вычисления площади это ничего не меняет — формула остаётся той же S = ((a + b) / 2)·h, но симметрия часто облегчает поиск высоты.

Как найти высоту по сторонам

Иногда высоту в условии не дают, зато известны основания и боковые стороны. У равнобедренной трапеции высоту находят так: разность оснований делят пополам и опускают перпендикуляры из вершин меньшего основания. Получается прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза — боковая сторона, один катет — высота, а второй равен (a − b) / 2. По теореме Пифагора высота равна h = √(c² − ((a − b) / 2)²), где c — боковая сторона. Найдя высоту, подставляют её в основную формулу площади.

Частые ошибки. Складывают основания, но забывают делить сумму на два. За высоту ошибочно принимают боковую сторону: высота — это перпендикуляр между основаниями, а не наклонная сторона. Иногда подставляют в формулу боковую сторону вместо одного из оснований.

Кратко о главном

• Площадь трапеции: S = ((a + b) / 2)·h.
• Это произведение средней линии на высоту: S = m·h.
• Высота — перпендикуляр между основаниями, а не боковая сторона.
• Через диагонали: S = (1/2)·d_1·d_2·sin α.