Касательная к окружности и её свойства

Касательная к окружности

Касательная к окружности — это прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку. Эту точку называют точкой касания. Если прямая имеет с окружностью две общие точки, она называется секущей, а если ни одной — не пересекает окружность вовсе. Понятие касательной — одно из ключевых в планиметрии девятого класса: на нём строятся задачи на углы, длины отрезков и доказательства равенства фигур.

Чтобы понять касательную наглядно, представим, что прямая приближается к окружности. Сначала она пересекает её в двух точках, затем эти точки сливаются в одну — и в этот момент прямая становится касательной. Дальнейшее движение уводит прямую от окружности, и общих точек уже нет.

Главное свойство касательной

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Это значит, что если O — центр окружности, A — точка касания, а прямая l касается окружности в точке A, то выполняется OA ⊥ l. Верно и обратное утверждение: если прямая проходит через конец радиуса и перпендикулярна этому радиусу, то она обязательно является касательной. Эти два факта вместе дают удобный признак касательной, которым пользуются в большинстве задач.

Отрезки касательных из одной точки

Из точки, лежащей вне окружности, можно провести ровно две касательные. Отрезки этих касательных от данной точки до точек касания обладают важным свойством, которое сильно упрощает вычисления.

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны между собой, и эта точка лежит на биссектрисе угла между касательными.

Из этого следует, что прямая, соединяющая внешнюю точку с центром окружности, является осью симметрии всей конфигурации: она делит пополам и угол между касательными, и угол между радиусами, проведёнными в точки касания.

Разбор примера

Из точки M к окружности радиуса R = 6 проведены две касательные, расстояние от точки до центра OM = 10. Найдём длину отрезка касательной. Рассмотрим прямоугольный треугольник, где радиус OA перпендикулярен касательной, поэтому угол при точке касания прямой.

Запишем решение по шагам: MA² = OM² − OA², далее MA² = 100 − 36 = 64, значит MA = 8. Оба отрезка касательных равны 8, что подтверждает свойство равенства отрезков из одной точки.

Частые ошибки. Не путайте радиус и диаметр, подставляя их в теорему Пифагора. Помните: прямой угол образуется именно между радиусом и касательной, а не между диаметром и хордой. Ещё одна ошибка — считать, что касательная пересекает окружность; на самом деле она лишь дотрагивается до неё в единственной точке.

Кратко о главном

• Касательная имеет с окружностью ровно одну общую точку.
• Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
• Отрезки касательных из одной внешней точки равны.
• Для касательной d = R, для секущей d < R, иначе d > R.