Расстояние между двумя точками на координатной плоскости
📏 Геометрия · 9 класс
Расстояние между точками на плоскости
В методе координат каждая точка плоскости задаётся упорядоченной парой чисел — её координатами. Чтобы измерить расстояние между двумя точками, не нужны ни линейка, ни циркуль: достаточно знать координаты этих точек и применить одну формулу. Это делает метод координат мощным инструментом для решения геометрических задач алгебраическими средствами.
Вывод формулы
Пусть даны две точки A(x_1; y_1) и B(x_2; y_2). Построим прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой служит отрезок AB, а катеты параллельны осям координат. Длины катетов равны модулям разностей координат: |x_2 − x_1| по горизонтали и |y_2 − y_1| по вертикали. Остаётся применить теорему Пифагора.
Расстояние между точками вычисляется по формуле AB = √((x_2 − x_1)² + (y_2 − y_1)²).Таким образом, формула расстояния — это прямое следствие теоремы Пифагора, перенесённой на координатную плоскость. Поэтому её легко запомнить и невозможно перепутать с другими: под корнем всегда стоит сумма квадратов разностей координат.
| Величина | Выражение |
|---|---|
| Разность абсцисс | x_2 − x_1 |
| Разность ординат | y_2 − y_1 |
| Расстояние | √((x_2 − x_1)² + (y_2 − y_1)²) |
Разбор примера
Найдём расстояние между точками A(1; 2) и B(4; 6). Вычислим разности координат: по оси абсцисс 4 − 1 = 3, по оси ординат 6 − 2 = 4.
Подставим в формулу: AB = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Мы получили классический египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Эта же формула применяется для нахождения длин сторон многоугольника, проверки равнобедренности или равносторонности треугольника и доказательства того, что точка лежит на заданной окружности.
Частые ошибки. Разности координат возводятся в квадрат, поэтому знак разности не влияет на результат — можно вычитать в любом порядке. Но нельзя забывать про квадратный корень в самом конце вычисления. Также не следует складывать координаты вместо вычитания.
Применение формулы
Формула расстояния — рабочий инструмент всего метода координат. С её помощью проверяют, является ли треугольник равнобедренным: достаточно найти длины всех сторон и сравнить их. Чтобы доказать, что треугольник прямоугольный, вычисляют квадраты сторон и проверяют выполнение теоремы Пифагора. Эта же формула лежит в основе уравнения окружности: окружность — это множество точек, удалённых от центра на одно и то же расстояние, равное радиусу. Наконец, расстояние от точки до точки помогает находить периметры многоугольников, заданных координатами вершин, что превращает геометрическую задачу в чисто вычислительную.
Кратко о главном
- Расстояние находится по теореме Пифагора в координатах.
- Формула:
AB = √((x_2 − x_1)² + (y_2 − y_1)²). - Знаки разностей не важны из-за возведения в квадрат.
- Применяется для сторон фигур и проверки их свойств.