Степень точки относительно окружности

Степень точки относительно окружности

Степень точки относительно окружности — это число, которое связывает расстояние от точки до центра окружности с её радиусом и объединяет несколько теорем об отрезках хорд, секущих и касательной в один общий закон. Если точка отстоит от центра на расстояние d, а радиус окружности равен R, то степень точки равна d² − R².

Знак степени

Знак числа d² − R² сразу подсказывает положение точки относительно окружности. Это полезно для проверки, лежит ли точка внутри, снаружи или прямо на окружности.

Главное применение

Через любую точку проведём прямую, пересекающую окружность в двух точках. Произведение отрезков от данной точки до точек пересечения по модулю всегда одно и то же, как бы мы ни поворачивали эту прямую. Это постоянное произведение и равно модулю степени точки. Отсюда получаются сразу три знакомые теоремы.

• Две пересекающиеся хорды: AE·EB = CE·ED для точки E внутри окружности.
• Две секущие из внешней точки: PA·PB = PC·PD, где берутся полные отрезки до дальних точек.
• Секущая и касательная: PT² = PA·PB, где PT — отрезок касательной от точки до точки касания.

Разбор примера

Из точки P вне окружности проведены касательная PT и секущая, пересекающая окружность в точках A и B. Известно PA = 4 и PB = 9. Найдём длину касательной по формуле степени точки.

PT² = PA·PB = 4·9 = 36
PT = √36 = 6

Длина касательной равна 6. Заметим, что PA — отрезок до ближней точки, а PB — до дальней, и в произведение идут оба.

Почему все случаи — это одно

Преимущество понятия степени точки в том, что три отдельные школьные теоремы оказываются одной и той же. Когда точка внутри окружности, мы получаем теорему о пересекающихся хордах; когда снаружи и проводим две секущие — теорему о секущих; когда снаружи и одна из прямых становится касательной, дальняя и ближняя точки сливаются, и произведение превращается в квадрат отрезка касательной. Запомнив одну идею о постоянстве произведения отрезков, не нужно держать в голове три разные формулировки. Это удобно и при доказательстве того, что четыре точки лежат на одной окружности: достаточно проверить равенство соответствующих произведений.

Частые ошибки. Для секущей из внешней точки берут не весь отрезок до дальней точки, а только до ближней. Для касательной возводят в квадрат не ту величину: в квадрат идёт именно отрезок касательной PT. Путают, какие отрезки относятся к одной прямой, а какие к другой.

Кратко о главном

• Степень точки равна d² − R².
• Её знак показывает, где точка: вне, на или внутри окружности.
• Хорды: AE·EB = CE·ED; секущие: PA·PB = PC·PD.
• Касательная и секущая: PT² = PA·PB.