Описанный четырёхугольник

Описанный четырёхугольник

Описанным называют четырёхугольник, в который можно вписать окружность — то есть окружность, касающуюся всех четырёх его сторон. Эту окружность называют вписанной в четырёхугольник. Не во всякий четырёхугольник вписывается окружность: для этого должно выполняться особое условие на длины сторон.

Главное свойство

В описанном четырёхугольнике суммы длин противоположных сторон равны. Если стороны по порядку равны a, b, c, d, то a + c = b + d. Это следствие того, что отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны между собой. Из каждой вершины выходят два таких равных отрезка, и при сложении по противоположным сторонам они дают одинаковые суммы.

Признак

Обратное утверждение тоже верно: если у выпуклого четырёхугольника суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность. Поэтому равенство a + c = b + d служит и свойством, и признаком одновременно.

Разбор примера

В описанный четырёхугольник вписана окружность. Три стороны равны a = 5, b = 7, c = 9. Найдём четвёртую сторону d, используя равенство сумм противоположных сторон.

Условие: a + c = b + d
5 + 9 = 7 + d
14 = 7 + d, значит d = 7

Четвёртая сторона равна 7. Проверим: a + c = 14 и b + d = 7 + 7 = 14 — суммы совпали.

Площадь

Площадь описанного четырёхугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности: S = p·r, где p = (a + b + c + d) / 2. Эта формула напоминает формулу площади треугольника через вписанную окружность и выводится тем же разбиением на треугольники с вершиной в центре. Из неё, зная площадь и периметр, легко найти радиус вписанной окружности: r = S / p.

Какие фигуры являются описанными

Не всякий привычный четырёхугольник можно описать около окружности. В ромб окружность вписать всегда можно, потому что у него все стороны равны и условие a + c = b + d выполняется автоматически. А вот в произвольный прямоугольник вписать окружность нельзя, если его стороны не равны: тогда суммы противоположных сторон различны. В квадрат окружность вписывается всегда. Поэтому при решении задач сначала проверяют именно равенство сумм противоположных сторон, а уже потом пользуются свойствами касательных.

Частые ошибки. Путают условия для двух разных случаев: для вписанного четырёхугольника складывают углы, для описанного — стороны. Складывают соседние стороны вместо противоположных. Применяют признак к невыпуклому четырёхугольнику.

Кратко о главном

• В описанный четырёхугольник вписана окружность, касающаяся всех сторон.
• Суммы противоположных сторон равны: a + c = b + d.
• Это и признак, и свойство одновременно.
• Площадь: S = p·r.