Угол между касательной и хордой
📏 Геометрия · 9 класс
Угол между касательной и хордой
Это особый угол, вершина которого лежит на окружности: одна его сторона — касательная к окружности, а другая — хорда, выходящая из точки касания. Такой угол тесно связан с вписанными и центральными углами, а также с дугами окружности. Умение его вычислять часто требуется в задачах на окружность.
Формулировка теоремы
Угол между касательной и хордой, проведёнными из одной точки касания, равен половине дуги, заключённой внутри этого угла.
Если MA — касательная в точке A, а AB — хорда, то угол MAB равен половине дуги AB, которая лежит внутри этого угла. Важно понимать, что хорда делит окружность на две дуги, и для каждой стороны угла берётся именно та дуга, что заключена внутри.
Связь с вписанным углом
Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, также равен её половине. Поэтому угол между касательной и хордой равен вписанному углу, который опирается на эту же хорду со стороны соответствующей дуги. Эту связь удобно использовать, заменяя один угол другим в доказательствах.
| Угол | Чему равен |
|---|---|
| Центральный | Дуге целиком |
| Вписанный | Половине дуги |
| Между касательной и хордой | Половине дуги внутри угла |
Разбор примера
Хорда AB стягивает дугу величиной 140°. Найдём угол между касательной в точке A и хордой AB с той стороны, где лежит данная дуга.
По теореме угол равен половине дуги: угол MAB равен 140° : 2 = 70°. Если же взять угол с другой стороны хорды, то внутри него окажется вторая дуга величиной 360° − 140° = 220°, и угол будет равен 220° : 2 = 110°. Заметим, что два угла между касательной и хордой по разные стороны дают в сумме 180°, ведь касательная — прямая линия.
Частые ошибки. Важно брать именно ту дугу, которая заключена внутри выбранного угла. С разных сторон от хорды углы будут разными, и легко подставить не ту дугу. Не путайте этот угол с центральным, который равен всей дуге, а не её половине.
Применение в задачах
Угол между касательной и хордой удобно использовать там, где обычные вписанные углы построить трудно. Например, если в точке касания провести касательную, то угол, который она образует с хордой, мгновенно даёт величину дуги, не требуя дополнительных построений. Эту теорему часто применяют вместе со свойством касательной и радиуса: зная, что радиус перпендикулярен касательной, можно перейти от угла между касательной и хордой к центральному углу и далее к длине дуги. Такие переходы помогают связать линейные и угловые величины в одной задаче и нередко служат ключом к доказательству подобия треугольников, опирающихся на касание.
Кратко о главном
- Угол между касательной и хордой равен половине дуги внутри него.
- Он равен вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду.
- Два таких угла по разные стороны хорды дают в сумме
180°. - Угол связывает между собой касательную, хорду и дугу.