Длина медианы и теорема Стюарта
📏 Геометрия · 9 класс
Длина медианы треугольника
Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. У каждого треугольника три медианы, и они пересекаются в одной точке — центроиде (точке пересечения медиан), которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины. Длину медианы можно вычислить, зная только три стороны треугольника.
Формула длины медианы
Если стороны треугольника равны a, b, c, то медиана, проведённая к стороне a, имеет длину m_a = (1/2)·√(2·b² + 2·c² − a²). Под корнем удваиваются квадраты двух сторон, выходящих из той же вершины, и вычитается квадрат стороны, к которой проведена медиана. Эта формула — частный случай более общей теоремы Стюарта о длине чевианы.
| Медиана к стороне | Формула длины |
|---|---|
к стороне a | m_a = (1/2)·√(2b² + 2c² − a²) |
к стороне b | m_b = (1/2)·√(2a² + 2c² − b²) |
к стороне c | m_c = (1/2)·√(2a² + 2b² − c²) |
Разбор примера
Найдём медиану m_a к стороне a = 6, если b = 5 и c = 5. Подставим значения и аккуратно посчитаем подкоренное выражение.
m_a = (1/2)·√(2·5² + 2·5² − 6²)m_a = (1/2)·√(50 + 50 − 36)m_a = (1/2)·√64 = (1/2)·8 = 4
Медиана равна 4. Здесь треугольник равнобедренный, поэтому медиана к основанию совпадает с высотой и с биссектрисой угла при вершине.
Теорема Стюарта
Если чевиана из вершины делит противоположную сторону на отрезки m и n и имеет длину d, то выполняется равенство b²·m + c²·n = a·(d² + m·n), где a = m + n. Для медианы отрезки равны: m = n = a/2. Подставив это в теорему Стюарта и упростив, как раз получают формулу длины медианы. Так одна общая теорема охватывает медианы, биссектрисы и любые другие чевианы.
Сумма квадратов медиан
Из формул для трёх медиан вытекает красивое следствие: сумма квадратов всех трёх медиан равна трём четвертям суммы квадратов сторон, то есть m_a² + m_b² + m_c² = (3/4)·(a² + b² + c²). Это соотношение полезно, когда в задаче фигурируют сразу все медианы. Ещё одно применение формулы медианы — вычисление длины отрезка, соединяющего середины сторон, и проверка, является ли треугольник прямоугольным: если медиана к стороне равна половине этой стороны, то против неё лежит прямой угол.
Частые ошибки. Забывают коэффициент 1/2 перед корнем. Путают знаки: под корнем вычитается квадрат именно той стороны, к которой проведена медиана, а две другие удваиваются. Меняют местами стороны при подстановке в формулу.Кратко о главном
- Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны.
- Длина:
m_a = (1/2)·√(2b² + 2c² − a²). - Медианы пересекаются в центроиде в отношении
2 : 1от вершины. - Формула — частный случай теоремы Стюарта.