Ортотреугольник: основания высот и новые окружности
📏 Геометрия · 9 класс
Ортотреугольником называют треугольник, образованный основаниями трёх высот исходного треугольника. Для первого разбора возьмём остроугольный ABC: основания D,E,F лежат соответстве
Ортотреугольником называют треугольник, образованный основаниями трёх высот исходного треугольника. Для первого разбора возьмём остроугольный ABC: основания D,E,F лежат соответственно на BC,CA,AB. Такое ограничение делает рисунок наглядным; прямоугольный случай вырождается, а тупоугольный требует аккуратной работы с продолжениями сторон.
Постройте по определению
Из A опустите перпендикуляр на BC и отметьте D. Аналогично получите E и F. Соедините три основания. Не путайте их с серединами сторон: серединный треугольник строится по другому правилу и имеет иные свойства. В равностороннем случае фигуры совпадут, но это частная симметрия.
Ортоцентр H — точка пересечения исходных высот. Поскольку AD и BE перпендикулярны сторонам, в конфигурации появляются прямые углы. Именно они позволяют находить вписанные четырёхугольники, полезные для вычисления углов ортотреугольника.
Выведите угол при D
Точки A,D,E,B лежат на одной окружности: углы ADB и AEB прямые и опираются на общий диаметр AB. Аналогично A,D,F,C лежат на окружности с диаметром AC. Из равенства соответствующих вписанных углов получаем ∠EDA=90°−A и ∠ADF=90°−A.
Поэтому высота DA делит угол EDF пополам, а сам угол ортотреугольника при D равен 180°−2A. Аналогично получаются 180°−2B и 180°−2C. Сумма этих трёх выражений равна 180°, поскольку A+B+C=180°: это проверяет согласованность результата.
Роль ортоцентра
В остроугольной конфигурации H лежит на внутренних биссектрисах ортотреугольника. Значит, он является его инцентром. Это не утверждение о том, что любой инцентр совпадает с любым ортоцентром: речь идёт о двух связанных, но разных треугольниках.
Основания высот лежат на окружности девяти точек исходного треугольника. Вместе с ними на этой окружности находятся середины сторон и середины отрезков от вершин до ортоцентра. Для применения такого факта нужно ясно подписывать, относительно какого треугольника названы точки.
Задания с ответами
1. Если A=50°, каков угол при D?80°. 2. Если исходный треугольник равносторонний, где основания высот? В серединах сторон; ортотреугольник также равносторонний. 3. Почему при прямом угле исходная фигура требует отдельного случая? Два основания высот совпадут с вершиной прямого угла, и обычный ортотреугольник вырождается.
Проверьте доказательство на разностороннем остроугольном рисунке. Отметьте каждую окружность по прямым углам, а не по впечатлению, что четыре точки «выглядят вписанными». Это типичный переход от построения к доказательству в олимпиадной геометрии.
Граница применимости на рисунке
В равностороннем треугольнике основания высот совпадают с серединами сторон. Ортический треугольник тоже равносторонний, а ортоцентр исходного совпадает с его инцентром. Это удобная проверка результата, но не общий способ доказательства. В разностороннем остроугольном треугольнике основания высот не обязаны быть серединами, поэтому нельзя заменять ортический треугольник средним. Сравните два чертежа и подпишите для каждой точки, из какого определения она получена: как основание перпендикуляра или как середина стороны.
Связанные материалы
Высоты остроугольного и тупоугольного треугольника, Две окружности треугольника.
Источники и проверка
ЦПМ: основания высот, ортотреугольник и окружность Эйлера.