Лемма о трезубце: середина дуги и центр вписанной окружности
📏 Геометрия · 9 класс
Пусть биссектриса угла A треугольника ABC пересекает его описанную окружность второй раз в точке D. Если I — центр вписанной окружности, то DB=DC=DI. Точка D является серединой дуг
Пусть биссектриса угла A треугольника ABC пересекает его описанную окружность второй раз в точке D. Если I — центр вписанной окружности, то DB=DC=DI. Точка D является серединой дуги BC, не содержащей A. Это распространённая форма леммы о трезубце, полезная в задачах с биссектрисами.
Сначала постройте правильную точку
На окружности есть две дуги BC. Нужна именно дуга без вершины A: её середину выделяет внутренняя биссектриса из A. Не заменяйте D серединой отрезка BC. Середина хорды обычно лежит внутри круга и имеет другие свойства.
Равенство DB=DC следует из равенства дуг BD и DC. Поэтому D находится на серединном перпендикуляре к BC. Но для трезубца нужно ещё доказать равенство с DI: оно не следует только из того, что I лежит на биссектрисе.
Доказательство через углы
Обозначим углы исходного треугольника A,B,C. Для центра вписанной окружности ∠AIB=90°+C/2. Так как A,I,D лежат на одной прямой и I находится между A и D, получаем ∠BID=90°−C/2.
Угол ∠IBD складывается из ∠IBC=B/2 и ∠CBD=A/2. Второе равенство получается из вписанных углов, опирающихся на дугу CD. Поэтому ∠IBD=(A+B)/2=90°−C/2. В треугольнике BID углы при I и B равны, следовательно, BD=DI. Вместе с BD=CD лемма доказана.
Как применять результат
Если в задаче уже есть середина нужной дуги и инцентр, можно провести окружность с центром D через B. На ней окажутся C и I. Это превращает несколько разрозненных условий в одну окружность с равными радиусами. Но каждое использование должно ссылаться на правильную конфигурацию.
Не переносите результат без проверки на внешнюю биссектрису или другую середину дуги: там возникают другие центры и формулировки. В расширенной версии участвует соответствующий вневписанный центр, однако сначала полезно уверенно освоить внутренний случай.
Задания с ответами
1. Если DB=7, чему равен DI?7 при выполнении условий леммы. 2. Достаточно ли взять произвольную точку D на окружности? Нет: нужна точка внутренней биссектрисы, то есть середина определённой дуги. 3. Если C=80°, найдите углы BID и IBD. Оба 50°.
Нарисуйте разносторонний треугольник, чтобы случайная симметрия не подсказывала равенства. Подпишите на чертеже каждое использованное половинное значение угла. Если доказательство работает лишь для равнобедренного рисунка, проверьте, где без основания приняли боковые стороны равными.
Задача на распознавание конфигурации
На описанной окружности выбрали точку D так, что дуги BD и DC равны, причём дуга BDC не содержит A. Внутренняя биссектриса угла A проходит через D по свойству вписанных углов. Если I — инцентр, условия леммы восстановлены и можно заключить DI=DB=DC. Это обратная проверка исходных данных: в условии не всегда прямо пишут слово «биссектриса». Но если указано равенство других дуг или D находится на дуге с A, требуется заново выяснить взаимное расположение точек.
Связанные материалы
Свойство биссектрисы треугольника, Две окружности треугольника.
Источники и проверка
ЦПМ: Лемма о трезубце, занятие 8 класса.