Асимптоты графика функции

Асимптоты графика функции

Асимптота — прямая, к которой график функции неограниченно приближается при удалении точки графика в бесконечность. Сам график при этом асимптоту не пересекает на бесконечности, а лишь подходит к ней сколь угодно близко. Асимптоты помогают понять поведение функции на краях области определения и аккуратно строить графики дробно-рациональных, показательных и логарифмических функций.

Три вида асимптот

• Вертикальная — прямая x = a, если при стремлении x к a функция уходит в бесконечность.
• Горизонтальная — прямая y = b, если при x → +∞ или x → −∞ функция стремится к конечному числу b.
• Наклонная — прямая y = kx + m с ненулевым угловым коэффициентом, к которой график приближается на бесконечности.

Правило: вертикальные асимптоты ищут в точках разрыва, например там, где знаменатель дроби обращается в ноль; горизонтальные и наклонные — через пределы при стремлении аргумента к бесконечности.

Как находить

Разобранный пример

Исследуем на асимптоты функцию y = (x² + 1) / x.

Вертикальная асимптота. Знаменатель обращается в ноль при x = 0, и в этой точке функция уходит в бесконечность. Значит, прямая x = 0 — вертикальная асимптота.

Наклонная асимптота. Преобразуем выражение, поделив почленно: y = x + 1/x. При x → ∞ слагаемое 1/x стремится к нулю, поэтому график неограниченно приближается к прямой y = x.

Проверим по формулам: k = lim (x²+1)/x² = 1; m = lim ((x²+1)/x − x) = lim (1/x) = 0. Получаем ту же наклонную асимптоту y = x.

Горизонтальной асимптоты у этой функции нет: при наличии наклонной асимптоты горизонтальная в том же направлении существовать не может, ведь функция уходит в бесконечность.

Связь с исследованием функции

Нахождение асимптот — обязательный шаг полного исследования функции. Они задают «рамку», внутри которой располагается график, и помогают не ошибиться при построении ветвей, уходящих в бесконечность. Особенно важны асимптоты для гипербол и других дробно-рациональных функций.

Частые ошибки: ищут горизонтальную асимптоту, когда на самом деле есть наклонная; забывают проверить точки разрыва на наличие вертикальных асимптот; неверно вычисляют предел отношения f(x)/x и получают ложный коэффициент.

Кратко о главном

• Асимптота — прямая, к которой график приближается на бесконечности.
• Вертикальные ищут в точках разрыва, горизонтальные и наклонные — через пределы.
• Наклонную задают коэффициенты k = lim f(x)/x и m = lim (f(x) − kx).
• Горизонтальная и наклонная асимптоты в одном направлении одновременно не существуют.