Возрастание, убывание и экстремумы функции

Монотонность функции и производная

Функция возрастает на промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Промежутки, на которых функция только возрастает или только убывает, называют промежутками монотонности. Производная позволяет находить эти промежутки, не строя график по точкам.

Достаточный признак монотонности: если на промежутке f'(x) > 0, то функция возрастает; если f'(x) < 0, то функция убывает.

Геометрически это очевидно: положительная производная означает, что касательная направлена вверх, и график поднимается; отрицательная производная означает наклон вниз и опускание графика.

Точки экстремума

Точка максимума — это точка, в которой возрастание функции сменяется убыванием, а точка минимума — точка, где убывание сменяется возрастанием. Максимумы и минимумы вместе называют экстремумами. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называют критическими — именно среди них находятся возможные экстремумы.

Признак экстремума

Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус — это точка максимума. Если знак меняется с минуса на плюс — это точка минимума. Если же знак производной при переходе через точку не меняется, то экстремума в ней нет, хотя производная и может равняться нулю.

Алгоритм исследования

1. Найти область определения функции.
2. Вычислить производную f'(x).
3. Найти критические точки, решив уравнение f'(x) = 0 и учтя точки, где производная не существует.
4. Определить знаки производной на полученных промежутках.
5. Сделать вывод о монотонности и точках экстремума.

Разобранный пример

Исследуем на монотонность и экстремумы функцию f(x) = x^3 − 3x.

f'(x) = 3x^2 − 3 = 3(x − 1)(x + 1)
Критические точки: x = −1 и x = 1.
При x < −1 производная положительна — функция возрастает.
При −1 < x < 1 производная отрицательна — функция убывает.
При x > 1 производная снова положительна — функция возрастает.

Значит, в точке x = −1 возрастание сменяется убыванием — это максимум, а в точке x = 1 убывание сменяется возрастанием — это минимум. Значения функции в этих точках: f(−1) = 2 и f(1) = −2.

Частые ошибки

Не каждая точка с нулевой производной является экстремумом. Например, у функции y = x^3 производная в нуле равна нулю, но смены знака нет, поэтому экстремума в этой точке не существует. Поэтому одного условия f'(x) = 0 недостаточно — нужно проверять смену знака.

Кратко о главном

• Положительная производная означает возрастание, отрицательная — убывание.
• Критические точки находят из условия f'(x) = 0.
• Экстремум есть только там, где производная меняет знак.
• Смена плюса на минус даёт максимум, минуса на плюс — минимум.