Площадь фигуры через интеграл
📐 Алгебра · 11 класс
Геометрический смысл определённого интеграла
Определённый интеграл ∫(a..b) f(x) dx для неотрицательной непрерывной функции равен площади криволинейной трапеции — фигуры, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и двумя вертикальными прямыми x = a и x = b. Это основной способ применения интеграла в геометрии, который изучают в 11 классе.
Формула Ньютона — Лейбница
Чтобы вычислить площадь, используют первообразную. Если F(x) — первообразная для подынтегральной функции f(x), то справедливо равенство:
∫(a..b) f(x) dx = F(b) - F(a).Иными словами, нужно найти первообразную, подставить в неё верхний предел, затем нижний, и из первого результата вычесть второй. Эта формула связывает площадь с операцией интегрирования и является основным инструментом при решении геометрических задач на нахождение площадей.
Основные случаи вычисления площади
| Расположение фигуры | Формула площади |
|---|---|
| график выше оси абсцисс | S = ∫(a..b) f(x) dx |
| график ниже оси абсцисс | S = -∫(a..b) f(x) dx |
| между двумя графиками | S = ∫(a..b) (f(x) - g(x)) dx |
Если фигура лежит ниже оси, интеграл получается отрицательным, поэтому площадь берут с противоположным знаком — ведь площадь не может быть отрицательной. При вычислении площади между двумя кривыми из верхней функции вычитают нижнюю.
Разобранный пример
Найдём площадь фигуры, ограниченной графиком y = x^2, осью абсцисс и прямыми x = 0 и x = 2.
S = ∫(0..2) x^2 dx.
Первообразная для x^2 равна x^3/3.
S = (2^3)/3 - (0^3)/3 = 8/3 - 0 = 8/3.
Значит, искомая площадь равна 8/3 квадратных единиц.
Площадь между кривыми
Чтобы найти площадь фигуры между графиками f(x) и g(x), сначала находят точки пересечения, решая уравнение f(x) = g(x). Они задают пределы интегрирования. Затем интегрируют разность функций на найденном промежутке.
Пример с двумя графиками
Найдём площадь между параболой y = x^2 и прямой y = x.
Точки пересечения: x^2 = x => x = 0 и x = 1.
На отрезке [0; 1] прямая выше параболы, поэтому:
S = ∫(0..1) (x - x^2) dx = (x^2/2 - x^3/3) от 0 до 1 = 1/2 - 1/3 = 1/6.
Частые ошибки. Не учитывают, что под осью абсцисс интеграл отрицателен, и получают отрицательную площадь. Неправильно определяют, какая функция выше на промежутке. Забывают найти точки пересечения, которые служат пределами интегрирования.
Кратко о главном
- Определённый интеграл неотрицательной функции равен площади криволинейной трапеции.
- Площадь вычисляют по формуле Ньютона — Лейбница через первообразную.
- Для фигуры ниже оси интеграл берут с противоположным знаком.
- Площадь между графиками равна интегралу разности верхней и нижней функций.
- Пределы интегрирования для фигуры между кривыми — это точки их пересечения.