Логарифмическая функция

Что такое логарифмическая функция

Логарифмической функцией называют функцию вида y = log_a(x), где основание a > 0 и a ≠ 1. Она является обратной к показательной функции y = a^x. Логарифм числа x по основанию a — это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить x. Иными словами, запись log_a(x) = b означает то же самое, что и равенство a^b = x.

Логарифмическая функция определена только для положительных значений аргумента, поэтому её область определения — все положительные числа: x > 0. Область значений — все действительные числа без исключения. Это значит, что логарифм может быть и положительным, и отрицательным, и равным нулю.

Основные свойства

Поведение функции принципиально зависит от того, больше единицы основание или меньше. От этого зависит, возрастает функция или убывает.

График любой логарифмической функции проходит через точку с координатами (1; 0), потому что логарифм единицы равен нулю при любом допустимом основании. Ось ординат служит вертикальной асимптотой: при приближении x к нулю справа значения функции неограниченно растут по модулю. График целиком расположен в правой полуплоскости, потому что отрицательных аргументов у логарифма быть не может.

Связь с показательной функцией

Графики функций y = log_a(x) и y = a^x симметричны относительно прямой y = x. Это прямое следствие того, что одна функция обратна другой: если показательная функция переводит число в его степень, то логарифмическая выполняет обратное действие и восстанавливает показатель.

Свойства логарифмов

При работе с функцией используют основные свойства логарифмов:

• логарифм произведения: log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y);
• логарифм частного: log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y);
• логарифм степени: log_a(x^k) = k·log_a(x).

Основное логарифмическое тождество

Ключевое равенство, которое связывает логарифм и степень, записывается так:

a^(log_a(b)) = b, где b > 0.

Разобранный пример

Найдём область определения функции y = log_2(x - 3).

Выражение под знаком логарифма должно быть положительным:

x - 3 > 0 => x > 3.

Значит, область определения — все числа, большие трёх. График этой функции получается из графика y = log_2(x) сдвигом на три единицы вправо.

Частые ошибки. Нельзя забывать про условие x > 0 для аргумента: логарифм отрицательного числа и нуля не существует. Также путают, что при основании меньше единицы функция убывает, а не возрастает — знак монотонности всегда нужно проверять по величине основания.

Кратко о главном

• Логарифмическая функция y = log_a(x) определена при x > 0, область значений — все числа.
• При a > 1 она возрастает, при 0 < a < 1 — убывает.
• График всегда проходит через точку (1; 0), ось ординат — вертикальная асимптота.
• Функция обратна показательной, их графики симметричны относительно прямой y = x.
• Свойства логарифма произведения, частного и степени упрощают вычисления.