Неопределённый интеграл и его свойства
📐 Алгебра · 11 класс
Что такое неопределённый интеграл
Неопределённым интегралом функции f(x) называют множество всех её первообразных. Если F(x) — какая-нибудь первообразная, то есть F'(x) = f(x), то любая другая первообразная отличается от неё лишь постоянным слагаемым. Поэтому запись выглядит так: ∫ f(x) dx = F(x) + C, где C — произвольная постоянная. Эту постоянную называют постоянной интегрирования.
Здесь f(x) называют подынтегральной функцией, выражение f(x) dx — подынтегральным выражением, знак ∫ — знаком интеграла, а сама операция нахождения интеграла называется интегрированием. Интегрирование — это действие, обратное дифференцированию: дифференцирование по функции находит её производную, а интегрирование по производной восстанавливает функцию.
Почему появляется постоянная
Производная постоянной равна нулю, поэтому функции F(x), F(x) + 5, F(x) − 3 имеют одну и ту же производную. Значит, восстанавливая функцию по её производной, мы не можем определить это слагаемое и обязаны писать + C. Геометрически это целое семейство кривых, сдвинутых друг относительно друга по вертикали; все они в каждой точке имеют касательные с одинаковым наклоном.
Основные свойства
При вычислениях опираются на несколько правил, которые прямо следуют из свойств производной и проверяются дифференцированием.
| Свойство | Запись |
|---|---|
| Производная интеграла | (∫ f(x) dx)' = f(x) |
| Постоянный множитель | ∫ k·f(x) dx = k·∫ f(x) dx |
| Сумма функций | ∫ (f + g) dx = ∫ f dx + ∫ g dx |
| Разность функций | ∫ (f − g) dx = ∫ f dx − ∫ g dx |
Обратите внимание: постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, а вот переменный множитель выносить нельзя. Свойства суммы и разности позволяют интегрировать многочлен почленно, разбивая сложное выражение на простые слагаемые.
Разобранный пример
Найдём интеграл многочлена, применяя свойства линейности.
∫ (3x^2 + 4x − 5) dx = 3·(x^3/3) + 4·(x^2/2) − 5x + C = x^3 + 2x^2 − 5x + CКаждое слагаемое мы проинтегрировали отдельно, постоянные множители вынесли, а постоянную C записали один раз для всего выражения. Проверка: возьмём производную результата. (x^3 + 2x^2 − 5x + C)' = 3x^2 + 4x − 5 — совпало с подынтегральной функцией, значит интеграл найден верно.
Частые ошибки. Забывают писать + C — это грубая ошибка, ответ становится неполным. Пытаются вынести за знак интеграла переменную, а не число. Складывают постоянные от каждого слагаемого по отдельности, хотя достаточно одной общей. Не делают проверку дифференцированием, хотя она занимает несколько секунд и сразу выявляет промах.
Как проверять ответ
Любой неопределённый интеграл легко проверить: продифференцируйте полученную функцию. Если производная равна подынтегральной функции, ответ верен. Это самое надёжное правило самоконтроля при интегрировании, и им стоит пользоваться в каждой задаче, особенно на экзамене, где нет возможности свериться с готовым решением.
Кратко о главном
- Неопределённый интеграл — множество всех первообразных функции.
- Запись имеет вид
∫ f(x) dx = F(x) + C, постоянная обязательна. - Постоянный множитель выносится за знак интеграла, интеграл суммы равен сумме интегралов.
- Интегрирование обратно дифференцированию, поэтому ответ проверяют производной.