Метод замены переменной в интеграле

Метод замены переменной в интеграле

Замена переменной (подстановка) — основной приём вычисления неопределённых интегралов, когда подынтегральное выражение содержит сложную функцию. Идея проста: мы вводим новую переменную так, чтобы громоздкий интеграл свёлся к одному из табличных. Этот метод — обратная сторона правила дифференцирования сложной функции, поэтому он работает всякий раз, когда под интегралом «спрятана» производная внутренней функции.

Суть метода

Если нужно найти интеграл вида ∫ f(g(x))·g'(x) dx, вводим замену t = g(x). Тогда дифференциал новой переменной dt = g'(x) dx, и интеграл превращается в ∫ f(t) dt — обычно уже табличный. После интегрирования обязательно возвращаемся к исходной переменной, подставляя выражение для t обратно.

Правило: удачная замена — это та, при которой производная нового выражения уже присутствует под интегралом, хотя бы с точностью до постоянного множителя. Тогда после подстановки переменная x исчезает полностью.

Порядок действий

1. Выбираем выражение для замены t = g(x).
2. Находим dt = g'(x) dx и выражаем отсюда dx.
3. Подставляем и сводим интеграл к табличному.
4. Интегрируем по новой переменной.
5. Возвращаемся к переменной x, подставляя t = g(x).

Типичные подстановки

Разобранный пример

Вычислим ∫ (2x + 1)^5 dx.

Замена: t = 2x + 1, тогда dt = 2 dx, значит dx = dt / 2.

∫ t^5 · (dt/2) = (1/2)·∫ t^5 dt = (1/2)·(t^6 / 6) + C

Возвращаемся к переменной x:

= (2x + 1)^6 / 12 + C

Второй пример

Вычислим ∫ x·e^(x²) dx. Здесь под интегралом стоит множитель x, похожий на производную выражения x². Делаем замену t = x², тогда dt = 2x dx, откуда x dx = dt / 2:

∫ e^t · (dt/2) = (1/2)·e^t + C = (1/2)·e^(x²) + C

Замена в определённом интеграле

Если интеграл определённый, есть удобный вариант: вместе с переменной пересчитать и пределы интегрирования. Тогда возвращаться к x не нужно — достаточно подставить новые пределы в первообразную по переменной t.

Частые ошибки: забывают пересчитать dx через dt и теряют множитель; не возвращаются к исходной переменной в неопределённом интеграле; для определённого интеграла забывают пересчитать пределы или, наоборот, делают это и одновременно возвращаются к x.

Кратко о главном

• Замена сводит сложный интеграл к табличному введением t = g(x).
• Обязательно пересчитываем dx через dt.
• В неопределённом интеграле в конце возвращаемся к переменной x.
• В определённом интеграле удобно сразу пересчитать пределы интегрирования.