Преобразование графиков функций

Преобразование графиков функций

Преобразование графиков — это набор приёмов, позволяющих строить график сложной функции, отталкиваясь от графика более простой. Зная, как выглядит график y = f(x), можно без построения таблицы значений получить графики y = f(x) + a, y = f(x − b), y = k·f(x) и многие другие. Это экономит время и помогает понимать структуру функции, а не запоминать графики наизусть.

Основные преобразования

• Сдвиг вверх или вниз: y = f(x) + a сдвигает весь график на a вдоль оси ординат (вверх при a > 0).
• Сдвиг влево или вправо: y = f(x − b) сдвигает график на b вправо при b > 0.
• Растяжение по вертикали: y = k·f(x) растягивает график в k раз от оси абсцисс.
• Сжатие по горизонтали: y = f(k·x) сжимает график в k раз к оси ординат.
• Отражение: y = −f(x) отражает график относительно оси абсцисс, а y = f(−x) — относительно оси ординат.

Правило: преобразования с самой функцией (прибавление числа, умножение снаружи) меняют график по вертикали и действуют «как написано»; преобразования с аргументом (внутри скобок) меняют график по горизонтали и действуют «наоборот».

Сводная таблица

Разобранный пример

Построим график y = (x − 2)² + 3, отталкиваясь от знакомой параболы y = x². Действуем по шагам:

Шаг 1: y = x² — исходная парабола с вершиной в точке (0; 0)

Шаг 2: y = (x − 2)² — сдвиг вправо на 2, вершина переходит в (2; 0)

Шаг 3: y = (x − 2)² + 3 — сдвиг вверх на 3, вершина переходит в (2; 3)

В итоге получаем параболу той же формы и того же направления ветвей, но с вершиной в точке (2; 3). Заметьте: сдвиг внутри скобок (x − 2) переместил график именно вправо, хотя в записи стоит минус.

Порядок применения нескольких преобразований

Когда преобразований несколько, удобно соблюдать порядок: сначала выполнить горизонтальные действия внутри скобок, затем растяжения и сжатия, и в самом конце — вертикальный сдвиг. Нарушение порядка часто приводит к неверному графику, особенно если смешать растяжение со сдвигом.

Частые ошибки: путают направление горизонтального сдвига, считая, что f(x − b) сдвигает влево; смешивают вертикальные и горизонтальные преобразования; неверно соблюдают порядок при нескольких преобразованиях; забывают, что растяжение по вертикали меняет и точки экстремума.

Кратко о главном

• Действия с функцией снаружи меняют график по вертикали и «как написано».
• Действия с аргументом внутри скобок меняют график по горизонтали и «наоборот».
• Запись f(x − b) сдвигает график вправо на b.
• Сложный график строят пошагово из простого, соблюдая порядок преобразований.