Тригонометрические уравнения
📐 Алгебра · 11 класс
Что такое тригонометрическое уравнение
Тригонометрическим называют уравнение, в котором неизвестная стоит под знаком тригонометрической функции. Простейшие уравнения имеют вид sin(x) = a, cos(x) = a, tg(x) = a. Их решения записывают общими формулами, потому что из-за периодичности функций корней бесконечно много. В ответе всегда присутствует слагаемое с произвольным целым числом — оно учитывает все обороты.
Общие формулы корней
| Уравнение | Условие | Формула корней |
|---|---|---|
cos(x) = a | |a| ≤ 1 | x = ±arccos(a) + 2πn |
sin(x) = a | |a| ≤ 1 | x = (-1)^n·arcsin(a) + πn |
tg(x) = a | любое a | x = arctg(a) + πn |
Здесь n — любое целое число. Если для синуса или косинуса |a| > 1, уравнение корней не имеет, ведь эти функции не выходят за пределы отрезка [-1; 1]. Тангенс же может равняться любому числу, поэтому уравнение tg(x) = a решается всегда.
Перед применением формул полезно вспомнить значения тригонометрических функций для основных углов. Часто правую часть уравнения удаётся узнать как табличное значение, и тогда обратная функция вычисляется точно, без приближений.
| Угол | sin | cos |
|---|---|---|
0 | 0 | 1 |
π/6 | 1/2 | √3/2 |
π/4 | √2/2 | √2/2 |
π/3 | √3/2 | 1/2 |
π/2 | 1 | 0 |
Частные случаи
Для некоторых значений правой части удобнее пользоваться простыми формулами, а не общими:
sin(x) = 0 => x = πn;sin(x) = 1 => x = π/2 + 2πn;sin(x) = -1 => x = -π/2 + 2πn;cos(x) = 0 => x = π/2 + πn;cos(x) = 1 => x = 2πn;cos(x) = -1 => x = π + 2πn.
Разобранный пример
Решим уравнение cos(x) = 1/2.
Так как |1/2| ≤ 1, корни существуют.
x = ±arccos(1/2) + 2πn = ±π/3 + 2πn, n — целое.
Уравнение с заменой
Решим 2·sin^2(x) - sin(x) - 1 = 0.
Пусть t = sin(x), причём |t| ≤ 1. Тогда 2t^2 - t - 1 = 0.
Корни: t = 1 и t = -1/2.
sin(x) = 1 => x = π/2 + 2πn;
sin(x) = -1/2 => x = (-1)^(n+1)·π/6 + πn.
Оба значения t по модулю не превосходят единицы, поэтому обе серии корней входят в ответ. Если бы один из корней по модулю оказался больше единицы, его пришлось бы отбросить, так как синус не принимает таких значений.
Помимо квадратных уравнений относительно одной функции, встречаются однородные уравнения и уравнения, требующие применения формул двойного угла или преобразования суммы в произведение. Все они в итоге сводятся к простейшим уравнениям, рассмотренным выше, а затем решаются по общим формулам корней.
Частые ошибки. Забывают добавлять период (слагаемое сn) и теряют часть корней. Не проверяют условие|a| ≤ 1для синуса и косинуса. При замене упускают ограничение|t| ≤ 1и берут посторонние корни.
Кратко о главном
- Простейшие тригонометрические уравнения решают по общим формулам корней.
- Для синуса и косинуса корни есть только при
|a| ≤ 1, для тангенса — всегда. - В ответ всегда входит период с произвольным целым
n. - Частные случаи удобнее решать по отдельным простым формулам.
- Сложные уравнения сводят к простейшим заменой переменной или формулами.