Формула Ньютона — Лейбница

Связь интеграла и первообразной

Формула Ньютона — Лейбница связывает определённый интеграл с первообразной подынтегральной функции. Она показывает, что вычисление площади под графиком сводится к нахождению первообразной и простой подстановке пределов интегрирования. Это одна из центральных формул математического анализа, объединяющая две, казалось бы, разные задачи: нахождение площади и нахождение первообразной.

Если F(x) — первообразная функции f(x), то ∫ от a до b f(x) dx = F(b) − F(a).

Благодаря этой формуле определённый интеграл, который по смыслу есть предел сумм, можно вычислять чисто алгебраически, без громоздких сумм и переходов к пределу.

Как читать формулу

Чтобы вычислить определённый интеграл, нужно найти любую первообразную F(x), затем вычислить её значение на верхнем пределе b и вычесть значение на нижнем пределе a. Постоянную интегрирования при этом можно не учитывать: при вычитании она сокращается, поэтому берут любую удобную первообразную.

Порядок вычисления

1. Найти первообразную F(x) подынтегральной функции.
2. Подставить верхний предел и вычислить F(b).
3. Подставить нижний предел и вычислить F(a).
4. Найти разность F(b) − F(a).

Разобранный пример

Вычислим определённый интеграл ∫ от 0 до 2 (3x^2) dx.

Первообразная подынтегральной функции: F(x) = x^3.
F(2) = 8
F(0) = 0
∫ = F(2) − F(0) = 8 − 0 = 8

Полученное число 8 равно площади криволинейной трапеции под графиком функции y = 3x^2 на отрезке от нуля до двух. В этом и состоит геометрический смысл результата: определённый интеграл от неотрицательной функции численно равен площади фигуры под её графиком.

Рассмотрим ещё пример: ∫ от 0 до π sin x dx. Первообразная синуса равна −cos x, поэтому интеграл равен (−cos π) − (−cos 0) = 1 + 1 = 2. Заметим, что первообразную всегда полезно проверять обратным дифференцированием: производная функции −cos x действительно равна sin x, значит первообразная найдена верно. Такая проверка занимает несколько секунд и спасает от досадных ошибок в знаках и коэффициентах.

Частые ошибки

Распространённая ошибка — перепутать порядок подстановки и вычислить F(a) − F(b): тогда знак результата окажется противоположным. Также нельзя забывать множители и знаки при нахождении первообразной.

Кратко о главном

• Формула связывает определённый интеграл с первообразной функции.
• Интеграл равен разности F(b) − F(a).
• Берут любую первообразную, постоянная интегрирования сокращается.
• Важно соблюдать порядок: из значения на верхнем пределе вычитают значение на нижнем.