Модуль и аргумент комплексного числа

Изображение комплексного числа на плоскости

Комплексное число z = a + bi изображают точкой или вектором на координатной плоскости: по горизонтальной оси откладывают действительную часть a, по вертикальной — мнимую часть b. Такую плоскость называют комплексной плоскостью. Геометрический образ числа удобно описывать не координатами, а двумя другими величинами — модулем и аргументом.

Модуль комплексного числа

Модуль числа z = a + bi — это длина вектора от начала координат до точки (a; b). Его находят по теореме Пифагора: |z| = √(a^2 + b^2). Модуль всегда неотрицателен и равен нулю только для самого числа ноль. Модуль показывает, насколько далеко число расположено от начала координат.

Аргумент комплексного числа

Аргументом называют угол φ между положительным направлением действительной оси и вектором числа. Для аргумента справедливы соотношения cos φ = a/|z| и sin φ = b/|z|, а также tg φ = b/a. При нахождении угла обязательно учитывают, в какой четверти лежит точка, потому что тангенс сам по себе не различает противоположные направления.

Как определить четверть

Знаки действительной и мнимой частей подсказывают четверть: если оба положительны — первая, если a отрицательна, а b положительна — вторая, и так далее. Сначала находят острый угол по тангенсу, а затем поправляют его в зависимости от четверти.

Свойства модуля

Модуль обладает удобными свойствами: модуль произведения равен произведению модулей, а модуль частного — частному модулей. Записывают это как |z_1·z_2| = |z_1|·|z_2|. Аргументы при умножении складываются, а при делении вычитаются. Именно поэтому модуль и аргумент особенно удобны при умножении и делении чисел, тогда как алгебраическая форма удобнее для сложения. Понимание этой связи готовит к переходу на тригонометрическую форму записи комплексного числа.

Разобранный пример

Найдём модуль и аргумент числа z = 1 + i.

Точка лежит в первой четверти, поэтому аргумент равен π/4. Значит, вектор числа 1 + i имеет длину √2 и наклонён к действительной оси под углом 45 градусов. Эти две величины полностью задают положение числа на плоскости.

Частые ошибки. Определяют аргумент только по тангенсу, не учитывая четверть, и получают угол с ошибкой на π. Забывают извлечь корень при вычислении модуля. Считают модуль отрицательным — он не может быть меньше нуля по определению длины.

Кратко о главном

• Число a + bi изображают точкой (a; b) на комплексной плоскости.
• Модуль |z| = √(a^2 + b^2) — длина вектора, он неотрицателен.
• Аргумент φ — угол наклона вектора, его ищут с учётом четверти.
• Связь: cos φ = a/|z|, sin φ = b/|z|.