Интегрирование по частям

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям — приём вычисления интегралов от произведения функций, основанный на формуле производной произведения. Он применяется там, где замена переменной бессильна: например, при интегрировании произведения многочлена на логарифм, на показательную или тригонометрическую функцию. Метод не вычисляет интеграл сразу, а заменяет его другим, более простым, который уже поддаётся интегрированию.

Формула и её происхождение

Из правила дифференцирования произведения (u·v)' = u'·v + u·v' после интегрирования обеих частей и переноса слагаемого получается основная формула: ∫ u dv = u·v − ∫ v du. Подынтегральное выражение разбивают на два множителя: u (который будем дифференцировать) и dv (который будем интегрировать). От правильного разбиения зависит, упростится задача или, наоборот, усложнится.

Правило выбора: за u берут функцию, которая при дифференцировании упрощается, — логарифм, многочлен или обратную тригонометрическую функцию; всё остальное, включая dx, относят к dv.

Порядок действий

1. Обозначаем множители u и dv.
2. Находим du = u' dx и v = ∫ dv.
3. Подставляем в формулу u·v − ∫ v du.
4. Вычисляем оставшийся, более простой интеграл.
5. Записываем ответ, не забыв постоянную C.

Памятка по выбору множителей

Разобранный пример

Вычислим ∫ x·e^x dx.

Возьмём u = x, тогда du = dx. И dv = e^x dx, тогда v = e^x. По формуле получаем:

∫ x·e^x dx = x·e^x − ∫ e^x dx = x·e^x − e^x + C = e^x·(x − 1) + C

Обратите внимание: новый интеграл ∫ e^x dx оказался проще исходного — именно к этому и стремятся, выбирая множители.

Второй пример

Вычислим ∫ ln x dx. На первый взгляд произведения нет, но множитель dx играет роль dv. Берём u = ln x, dv = dx; тогда du = dx / x, v = x:

∫ ln x dx = x·ln x − ∫ x·(dx/x) = x·ln x − ∫ dx = x·ln x − x + C

Так интегрирование по частям позволяет проинтегрировать даже одиночный логарифм, для которого нет табличной формулы.

Когда формулу применяют дважды

Иногда после первого применения формулы остаётся интеграл, который сам требует интегрирования по частям. Например, для ∫ x²·e^x dx приём приходится использовать дважды: сначала за u берут x² и понижают степень многочлена до первой, затем повторяют для ∫ x·e^x dx. Так шаг за шагом степень многочлена снижается до нуля, и интеграл вычисляется полностью. Это типичная картина для произведения многочлена на показательную или тригонометрическую функцию.

Частые ошибки: неправильно выбирают u, из-за чего новый интеграл оказывается сложнее исходного; теряют знак минус перед интегралом в правой части; забывают постоянную C; при поиске v добавляют лишнюю постоянную.

Кратко о главном

• Формула: ∫ u dv = u·v − ∫ v du.
• За u берут множитель, упрощающийся при дифференцировании.
• Метод хорош для произведений многочлена на логарифм, показательную или тригонометрическую функцию.
• Цель — получить более простой интеграл, чем исходный.