Уравнение нормали к графику функции

Что такое нормаль

Нормалью к графику функции в данной точке называют прямую, проходящую через эту точку перпендикулярно касательной. Если касательная показывает направление, вдоль которого график идёт в точке, то нормаль направлена поперёк него, под прямым углом. Понятие нормали тесно связано с касательной, и задачи на нормаль обычно решают сразу после нахождения касательной.

Связь угловых коэффициентов

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке: k_кас = f'(x_0). Для двух взаимно перпендикулярных прямых произведение угловых коэффициентов равно минус единице. Отсюда угловой коэффициент нормали находят так: k_норм = −1/f'(x_0), при условии что f'(x_0) ≠ 0.

Уравнение нормали

Зная точку касания (x_0; y_0) и угловой коэффициент нормали, записываем уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту: y = y_0 − (1/f'(x_0))·(x − x_0), где y_0 = f(x_0). Это та же форма, что и у уравнения касательной, но с другим коэффициентом наклона.

Разобранный пример

Составим уравнение нормали к графику f(x) = x^2 в точке x_0 = 1.

Итак, нормаль задаётся уравнением y = −0,5x + 1,5. Её угловой коэффициент равен −0,5, а касательной — 2; их произведение даёт −1, что подтверждает перпендикулярность. Это удобный способ проверить себя в конце решения.

Порядок решения задачи

1. Найти значение функции y_0 = f(x_0).
2. Найти производную и вычислить f'(x_0).
3. Найти угловой коэффициент нормали как −1/f'(x_0).
4. Подставить всё в уравнение прямой и упростить.

Чем нормаль отличается от касательной

Касательная и нормаль проходят через одну и ту же точку графика, но направлены под прямым углом друг к другу. Касательная как бы «прислоняется» к графику и идёт вдоль него, а нормаль пересекает график поперёк. В физике нормаль встречается, например, при описании отражения и преломления, где важен именно перпендикуляр к поверхности. Поэтому уметь составлять уравнение нормали полезно не только в алгебре, но и в задачах с геометрическим и физическим содержанием, где нужна прямая, перпендикулярная заданному направлению.

Частые ошибки. Берут для нормали тот же угловой коэффициент, что и у касательной. Забывают про знак минус в формуле −1/f'(x_0). Не учитывают особый случай: если f'(x_0) = 0, касательная горизонтальна, и нормаль становится вертикальной прямой x = x_0, для которой угловой коэффициент не определён.

Кратко о главном

• Нормаль перпендикулярна касательной в точке графика.
• Угловой коэффициент нормали равен −1/f'(x_0).
• Уравнение: y = y_0 − (1/f'(x_0))·(x − x_0).
• Если касательная горизонтальна, нормаль вертикальна: x = x_0.