Текстовые задачи на наибольшее и наименьшее значение
📐 Алгебра · 11 класс
Текстовые задачи на наибольшее и наименьшее значение
Задачи на оптимизацию — это прикладные задачи, в которых нужно найти наибольшее или наименьшее значение некоторой величины: максимальную площадь при заданном периметре, минимальный расход материала, наименьшее время в пути, наибольший объём упаковки. Решают такие задачи с помощью производной, потому что именно она указывает точки, где величина перестаёт расти и начинает убывать или наоборот.
Общая схема решения
- Выбираем переменную и обозначаем её буквой.
- Составляем функцию той величины, которую оптимизируем, выразив всё через выбранную переменную.
- Определяем область допустимых значений переменной из условия задачи.
- Находим производную и приравниваем её к нулю — получаем критические точки.
- Определяем характер критической точки и вычисляем искомый ответ.
Правило: наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке достигается либо в критической точке (где производная равна нулю или не существует), либо на границе области определения. Оба варианта нужно проверять.
Признаки экстремума
| Точка | Поведение производной | Вывод |
|---|---|---|
| Максимум | меняет знак с плюса на минус | наибольшее значение |
| Минимум | меняет знак с минуса на плюс | наименьшее значение |
| Не экстремум | знак не меняется | точка перегиба или седло |
Разобранный пример
Из проволоки длиной 40 см сделали прямоугольник. При каких сторонах его площадь будет наибольшей?
Пусть одна сторона равна x. Так как периметр равен сорока, полупериметр равен двадцати, и вторая сторона равна 20 − x. Площадь как функция переменной x:
S(x) = x·(20 − x) = 20x − x²
Область допустимых значений: 0 < x < 20 (стороны положительны). Находим производную и приравниваем к нулю:
S'(x) = 20 − 2x = 0 → x = 10
Производная меняет знак с плюса на минус при переходе через x = 10, значит это максимум. При x = 10 вторая сторона равна 20 − 10 = 10, площадь S = 100 см². Получается, что среди всех прямоугольников заданного периметра наибольшую площадь имеет квадрат.
Второй пример
Открытую коробку без крышки делают из квадратного листа со стороной 12 см, вырезая по углам одинаковые квадраты со стороной x и загибая получившиеся края. Объём коробки выражается функцией V(x) = x·(12 − 2x)². Дифференцируя эту функцию и приравнивая производную к нулю, находят x = 2, что и даёт наибольший возможный объём при допустимых значениях 0 < x < 6.
Частые ошибки: забывают указать область допустимых значений и берут невозможные размеры; не проверяют, максимум это или минимум; теряют граничные точки промежутка; неверно выражают вторую величину через выбранную переменную.
Кратко о главном
- Составляем функцию оптимизируемой величины и находим её область определения.
- Критические точки ищем, приравнивая производную к нулю.
- Характер точки определяем по смене знака производной.
- Ответ может достигаться и на границе области, поэтому границы тоже проверяем.