Действия с комплексными числами в алгебраической форме

Алгебраическая форма комплексного числа

Комплексное число в алгебраической форме записывают как z = a + bi, где a — действительная часть, b — мнимая часть, а i — мнимая единица, для которой i^2 = −1. Над такими числами выполняют те же действия, что и над многочленами с одной переменной, помня про это основное равенство и заменяя i^2 на минус единицу всюду, где оно встретится.

Сложение и вычитание

Складывают и вычитают комплексные числа покомпонентно: отдельно действительные части, отдельно мнимые. Для z_1 = a + bi и z_2 = c + di:

Умножение

Перемножают как двучлены, раскрывая скобки по обычным правилам, и заменяют i^2 на −1:

Деление

При делении числитель и знаменатель умножают на число, сопряжённое к знаменателю. Сопряжённым к c + di является c − di. Произведение числа на сопряжённое всегда даёт действительное число c^2 + d^2, поэтому мнимая единица из знаменателя исчезает, и результат снова приводится к виду a + bi.

Степени мнимой единицы

Степени i повторяются с периодом четыре: i^1 = i, i^2 = −1, i^3 = −i, i^4 = 1, дальше всё начинается заново. Чтобы найти высокую степень, делят показатель на 4 с остатком и пользуются остатком. Например, чтобы вычислить i^7, делим 7 на 4 — остаток 3, значит i^7 = i^3 = −i. Этот приём избавляет от долгого перемножения и часто встречается в задачах.

Геометрический образ действий

Сложение комплексных чисел наглядно: их векторы складывают по правилу параллелограмма, как обычные векторы на плоскости. Поэтому действия с комплексными числами связаны не только с алгеброй, но и с геометрией. Это делает комплексные числа удобным инструментом для описания поворотов и преобразований плоскости, что подробнее раскрывается при изучении тригонометрической формы записи.

Разобранный пример

Вычислим частное (3 + i) / (1 − i).

Итак, результат деления равен 1 + 2i. Мы умножили числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю, привели подобные и заменили i^2 на минус единицу.

Частые ошибки. Забывают, что i^2 = −1, и оставляют i^2 в ответе. При делении умножают только числитель, а не обе части дроби на сопряжённое. Путают сопряжённое число: у c + di сопряжённым является c − di, меняется знак только перед мнимой частью.

Кратко о главном

• Комплексное число: z = a + bi, где i^2 = −1.
• Складывают и вычитают по частям: отдельно действительные, отдельно мнимые.
• Умножают как двучлены, заменяя i^2 на −1.
• Делят умножением на сопряжённое к знаменателю.