Чётность, нечётность и периодичность функции
📐 Алгебра · 11 класс
Особые свойства функций
Чётность, нечётность и периодичность — это свойства, которые помогают понять симметрию графика функции и упростить её исследование. Зная их, можно строить график лишь на части области определения, а остальное достраивать по симметрии или повторению. Поэтому проверку этих свойств часто включают в схему полного исследования функции.
Чётная функция
Функцию называют чётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого x выполняется f(−x) = f(x). График чётной функции симметричен относительно оси ординат. Примеры чётных функций: y = x^2, y = cos x, y = |x|.
Нечётная функция
Функцию называют нечётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого x выполняется f(−x) = −f(x). График нечётной функции симметричен относительно начала координат. Примеры нечётных функций: y = x^3, y = sin x, y = 1/x.
| Свойство | Условие | Симметрия графика |
|---|---|---|
| Чётность | f(−x) = f(x) | относительно оси ординат |
| Нечётность | f(−x) = −f(x) | относительно начала координат |
| Периодичность | f(x + T) = f(x) | повторяется через T |
Периодическая функция
Функцию называют периодической, если существует такое число T ≠ 0, что для всех x из области определения выполняется f(x + T) = f(x). Наименьшее положительное T называют главным периодом. Так, у функций sin x и cos x период равен 2π, а у tg x и ctg x — π. Для периодической функции достаточно построить график на одном периоде, а затем повторить его.
Разобранный пример
Проверим на чётность функцию f(x) = x^4 − 2x^2.
f(−x) = (−x)^4 − 2(−x)^2 = x^4 − 2x^2 = f(x)Так как f(−x) = f(x), функция чётная, её график симметричен относительно оси ординат. Если бы получилось −f(x), функция была бы нечётной, а если ни то, ни другое — функцией общего вида.
Правило проверки. Сначала убедитесь, что область определения симметрична относительно нуля — иначе функция не может быть ни чётной, ни нечётной, даже если формула выглядит подходяще. Затем найдитеf(−x)и сравните сf(x)и с−f(x). Если не совпало ни с тем, ни с другим, функция общего вида.
Чем это помогает
Знание чётности, нечётности и периодичности заметно сокращает работу при построении графика. Для чётной функции достаточно построить график при положительных значениях аргумента и отразить его относительно оси ординат. Для нечётной — отразить относительно начала координат. Для периодической достаточно одного периода, который затем повторяют вдоль оси. Кроме того, эти свойства используют при решении уравнений и при вычислении определённых интегралов от симметричных функций, где симметрия позволяет упростить выкладки.
Кратко о главном
- Чётная функция:
f(−x) = f(x), график симметричен оси ординат. - Нечётная функция:
f(−x) = −f(x), график симметричен началу координат. - Периодическая функция повторяется через период T:
f(x + T) = f(x). - Проверку начинают с симметрии области определения.