Показательная функция и уравнения

Показательная функция

Показательной называют функцию вида y = a^x, где основание a > 0 и a ≠ 1, а показатель x — любое действительное число. Её область определения — все действительные числа, а область значений — только положительные числа. Это означает, что график функции никогда не пересекает ось абсцисс и не опускается ниже неё.

График функции всегда проходит через точку (0; 1), потому что любое положительное число в нулевой степени равно единице. Ось абсцисс служит горизонтальной асимптотой: при стремлении показателя в нужную сторону значения функции сколь угодно близко приближаются к нулю, но не достигают его. Поэтому график целиком лежит в верхней полуплоскости.

Особое место занимает функция с основанием, равным числу Эйлера. Её обозначают y = e^x и называют экспонентой. Она играет важную роль при изучении производной и первообразной.

Показательные уравнения

Показательным называют уравнение, в котором переменная стоит в показателе степени. Главный приём решения — привести обе части к одному основанию, после чего перейти к равенству показателей.

Если основания равны и не равны единице, то равны и показатели: из a^(f) = a^(g) следует f = g.

Разобранный пример

Решим уравнение 2^(x+1) = 8.

Приведём правую часть к основанию 2: 8 = 2^3.

2^(x+1) = 2^3 => x + 1 = 3 => x = 2.

Уравнение с заменой

Решим 4^x - 5·2^x + 4 = 0.

Заметим, что 4^x = (2^x)^2. Пусть t = 2^x, причём t > 0.

t^2 - 5t + 4 = 0 => t = 1 или t = 4.

2^x = 1 => x = 0; 2^x = 4 => x = 2.

Оба значения t положительны, поэтому оба корня подходят. Ответ: x = 0 и x = 2.

Показательные неравенства

При решении неравенств учитывают монотонность функции. Если a > 1, знак неравенства между показателями сохраняется, а если 0 < a < 1 — меняется на противоположный. Это важнейшее правило, которое отличает показательные неравенства от уравнений.

Пример неравенства

Решим (1/2)^x < 8.

Запишем 8 = (1/2)^(-3). Основание 1/2 меньше единицы, поэтому знак меняется.

(1/2)^x < (1/2)^(-3) => x > -3.

Частые ошибки. Забывают условие t > 0 при замене переменной и берут посторонние корни. Не меняют знак неравенства при основании меньше единицы. Пытаются приравнять показатели при разных основаниях, что недопустимо.

Кратко о главном

• Функция y = a^x определена для всех x и принимает только положительные значения.
• При a > 1 функция возрастает, при 0 < a < 1 — убывает.
• Уравнения решают приведением к общему основанию или заменой переменной.
• В неравенствах при основании меньше единицы знак переворачивается.
• График всегда проходит через точку (0; 1) и имеет горизонтальную асимптоту.