Дифференциал функции

Дифференциал функции

Дифференциал функции — это главная, линейная относительно приращения аргумента часть приращения функции. Если функция y = f(x) дифференцируема в точке, то её дифференциал обозначают dy и вычисляют по формуле dy = f'(x)·dx, где dx — приращение аргумента. Понятие дифференциала тесно связано с производной, но смотрит на неё под другим углом: производная отвечает на вопрос «как быстро меняется функция», а дифференциал — «на сколько примерно изменится функция при малом сдвиге аргумента».

Откуда берётся формула

При малом изменении аргумента Δx приращение функции Δy = f(x + Δx) − f(x) приближённо равно произведению производной на это изменение: Δy ≈ f'(x)·Δx. Эту приближённую, линейную по Δx величину и называют дифференциалом. Чем меньше Δx, тем точнее равенство, потому что отброшенная часть приращения убывает быстрее, чем сам Δx.

Правило: дифференциал равен производной, умноженной на приращение аргумента: dy = f'(x)·dx. При этом для независимой переменной приращение и дифференциал совпадают: dx = Δx.

Геометрический смысл

На графике приращение функции Δy — это перемещение по самой кривой при переходе из точки с абсциссой x в точку с абсциссой x + Δx. А дифференциал dy — перемещение по касательной, проведённой в исходной точке. Разница между ними мала и тем меньше, чем ближе мы к точке касания. Поэтому касательная — лучшее линейное приближение кривой вблизи точки касания, и именно эту идею использует дифференциал.

Сравнение приращения и дифференциала

Приближённые вычисления

Из Δy ≈ f'(x)·Δx следует удобная формула приближения: f(x + Δx) ≈ f(x) + f'(x)·Δx. Она позволяет быстро оценить значение функции в точке, близкой к той, где значение легко вычислить точно.

Вычислим приближённо √4,02. Возьмём f(x) = √x, тогда f'(x) = 1 / (2√x). Пусть x = 4, Δx = 0,02:

f(4) = 2; f'(4) = 1 / (2·2) = 0,25

√4,02 ≈ 2 + 0,25·0,02 = 2 + 0,005 = 2,005

Точное значение √4,02 ≈ 2,00499 — приближение отличается лишь в пятом знаке после запятой, чего более чем достаточно для практических оценок.

Свойства дифференциала

Дифференциал подчиняется тем же правилам, что и производная, только в каждом множитель dx остаётся «при себе»:

• d(u + v) = du + dv — дифференциал суммы.
• d(C·u) = C·du — постоянный множитель выносится.
• d(u·v) = u·dv + v·du — дифференциал произведения.

Частые ошибки: забывают множитель dx и пишут dy = f'(x); берут слишком большое Δx, из-за чего теряется точность приближения; путают точку x и приращение Δx; смешивают приращение функции Δy с дифференциалом dy.

Кратко о главном

• Дифференциал — линейная часть приращения: dy = f'(x)·dx.
• Геометрически dy — приращение вдоль касательной к графику.
• Формула f(x + Δx) ≈ f(x) + f'(x)·Δx даёт быстрые приближённые вычисления.
• Чем меньше приращение аргумента, тем точнее приближение.