Тригонометрическая форма комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа

Тригонометрическая форма записывает комплексное число через его модуль и аргумент. Она удобна для умножения, деления, возведения в степень и извлечения корней — операций, которые в алгебраической форме оказываются громоздкими. По сути это перевод числа из «прямоугольных» координат на плоскости в «полярные», где вместо двух координат используют расстояние до начала и угол поворота.

От алгебраической записи к тригонометрической

Комплексное число z = a + b·i изображается точкой на комплексной плоскости с координатами (a; b). Расстояние от начала координат до этой точки — модуль числа r = √(a² + b²), он всегда неотрицателен. Угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором точки — аргумент φ.

Тогда координаты выражаются так: a = r·cos φ и b = r·sin φ. Подставив их в исходную запись, получаем тригонометрическую форму:

z = r·(cos φ + i·sin φ)

Правило: модуль показывает «длину» числа, аргумент — его «направление». Аргумент находят из соотношения tg φ = b / a обязательно с учётом того, в какой четверти лежит точка.

Сводка обозначений

Разобранный пример

Запишем число z = 1 + i в тригонометрической форме.

Сначала модуль: r = √(1² + 1²) = √2.

Теперь аргумент. Точка (1; 1) лежит в первой четверти, где синус и косинус положительны; tg φ = 1/1 = 1, поэтому φ = π/4.

Итог: z = √2·(cos(π/4) + i·sin(π/4)).

Умножение и деление

Главная польза тригонометрической формы — простота умножения и деления:

• При умножении модули перемножаются, а аргументы складываются.
• При делении модули делятся, а аргументы вычитаются.

Например, произведение двух чисел равно z_1·z_2 = r_1·r_2·(cos(φ_1 + φ_2) + i·sin(φ_1 + φ_2)). Геометрически умножение означает растяжение в r_2 раз и поворот на угол φ_2. Эта наглядность делает тригонометрическую форму незаменимой при работе со степенями и корнями.

Аргумент и его неоднозначность

У одного и того же числа аргументов бесконечно много: они отличаются на целое число полных оборотов, то есть на 2πk. Чтобы запись была однозначной, обычно выбирают главное значение аргумента в промежутке от минус «пи» до «пи» либо от нуля до 2π. При определении аргумента всегда смотрят на знаки действительной и мнимой частей: они подсказывают четверть, и только после этого по тангенсу уточняют сам угол. Если действительная часть равна нулю, точка лежит на мнимой оси, и аргумент равен π/2 или −π/2 в зависимости от знака мнимой части.

Частые ошибки: определяют аргумент только по тангенсу, не глядя на четверть, и ошибаются на «пи»; путают местами модуль и аргумент; забывают, что аргумент числа ноль не определён; берут модуль со знаком минус.

Кратко о главном

• Тригонометрическая форма: z = r·(cos φ + i·sin φ).
• Модуль r = √(a² + b²), аргумент находят с учётом четверти.
• При умножении модули перемножаются, аргументы складываются.
• При делении модули делятся, аргументы вычитаются.