Область определения и область значений функции

Область определения функции

Областью определения функции называют множество всех значений аргумента, при которых функция имеет смысл, то есть выражение можно вычислить и получить число. Обозначают её D(f). Нахождение области определения — первый шаг любого исследования функции и обязательный этап при решении уравнений и неравенств.

Какие ограничения учитывают

Чаще всего встречаются три типа ограничений, которые нельзя нарушать. Их полезно держать в памяти как готовый список проверок.

Если выражение содержит несколько таких частей сразу, ограничения объединяют в систему и решают её совместно: в область определения попадают только те значения, которые удовлетворяют всем условиям одновременно.

Область значений функции

Областью значений называют множество всех значений, которые принимает функция при допустимых аргументах. Обозначают её E(f). Например, у функции y = x^2 область значений — все неотрицательные числа, потому что квадрат любого числа не бывает отрицательным. У функции y = sin x область значений — отрезок от минус единицы до единицы.

Разобранный пример

Найдём область определения функции f(x) = √(x − 2).

Значит, D(f) = [2; +∞). При этом сам корень принимает только неотрицательные значения, поэтому область значений E(f) = [0; +∞). Так в одной задаче мы определили обе характеристики функции.

Зачем это нужно

Без области определения нельзя корректно решить логарифмическое или иррациональное уравнение: посторонние корни появляются именно тогда, когда забывают про допустимые значения. Поэтому область определения часто записывают в самом начале решения и в конце проверяют, попали ли найденные корни в неё.

Как находить область значений

Область значений найти сложнее, чем область определения, и для этого есть несколько приёмов. Иногда помогает оценка выражения: например, для y = x^2 + 1 видно, что x^2 ≥ 0, поэтому y ≥ 1. Для функций с производной область значений находят через наибольшее и наименьшее значения. Полезно также опираться на известные области значений базовых функций: у синуса и косинуса это отрезок от минус единицы до единицы, у показательной функции — только положительные числа.

Частые ошибки. Забывают исключить точки, где знаменатель обращается в ноль. Допускают неотрицательное подкоренное выражение для корня чётной степени, но забывают про строгое неравенство в логарифме — там аргумент именно больше нуля, ноль не входит. Путают область определения, то есть допустимые значения x, и область значений, то есть значения y.

Кратко о главном

• Область определения D(f) — допустимые значения аргумента.
• Знаменатель не равен нулю, подкоренное чётной степени неотрицательно, аргумент логарифма строго положителен.
• Несколько ограничений объединяют в систему.
• Область значений E(f) — множество значений самой функции.