Таблица основных интегралов

Зачем нужна таблица интегралов

Таблица интегралов — это набор готовых формул для первообразных основных элементарных функций. Её получают, читая таблицу производных в обратную сторону: если известно, что производная функции F равна f, то F и есть первообразная для f. Знание таблицы наизусть позволяет быстро находить большинство интегралов школьного курса, не выводя каждый заново.

Основные табличные формулы

Во всех формулах справа добавляется произвольная постоянная C. Запоминать таблицу удобнее парами: каждая строка — это пара взаимно обратных операций дифференцирования и интегрирования.

Степенная формула — главная

Чаще всего применяют формулу для степени. Показатель увеличивают на единицу и делят на новый показатель. Например, ∫ x^5 dx = x^6/6 + C. Корень тоже степень: √x = x^(1/2), поэтому ∫ √x dx = x^(3/2)/(3/2) + C = (2/3)·x^(3/2) + C. Дробь в знаменателе вида 1/x^3 записывают как x^(−3) и тоже интегрируют по степенной формуле, ведь показатель здесь не равен минус единице.

Разобранный пример

Найдём интеграл, сведя каждое слагаемое к табличному.

Здесь каждое слагаемое взято из таблицы, постоянные множители вынесены, а постоянная C записана один раз для всего выражения. Проверим первое слагаемое: производная 2sin x равна 2cos x — совпадает с подынтегральной функцией.

Правило. Случай n = −1 выпадает из степенной формулы, потому что при подстановке получился бы ноль в знаменателе. Этот особый случай покрывает отдельная формула: ∫ x^(−1) dx = ln|x| + C. Под знаком логарифма обязательно стоит модуль, иначе формула не работала бы для отрицательных значений x.

Частые ошибки

• Применяют степенную формулу к 1/x, получая деление на ноль.
• Забывают модуль в ln|x|.
• Путают знаки: интеграл от sin x равен −cos x, а не cos x.
• Не приводят корни и дроби к степеням перед интегрированием.

Совет по запоминанию

Чтобы не путать знаки в тригонометрических интегралах, держите в голове производные: (sin x)' = cos x и (cos x)' = −sin x. Тогда обратные формулы для интегралов восстанавливаются однозначно, и таблицу не придётся зубрить вслепую.

Подготовка выражения

Перед тем как применить таблицу, выражение часто приходится преобразовать. Дробь делят почленно: (x^2 + 1)/x = x + 1/x, и тогда интеграл сводится к сумме табличных. Произведение раскрывают в сумму слагаемых, а корни и дроби записывают через степени с дробными и отрицательными показателями. Эта подготовка — половина успеха: чем проще каждое слагаемое, тем меньше шансов ошибиться. Полезно после интегрирования всегда проверять ответ дифференцированием, ведь это занимает считаные секунды и сразу показывает промах в знаке или показателе.

Кратко о главном

• Таблица интегралов — это таблица производных, прочитанная наоборот.
• Степенная формула: показатель плюс один, делим на новый показатель.
• Интеграл от 1/x равен ln|x| + C — особый случай.
• Постоянная C добавляется всегда.