Степенная функция и корень n-й степени

Корень n-й степени

Корнем n-й степени из числа a называют такое число, n-я степень которого равна a. Обозначение — n√a. Здесь n — натуральное число, большее единицы. Поведение корня существенно зависит от чётности показателя n, поэтому эти два случая рассматривают отдельно.

Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа называют неотрицательное число, n-я степень которого равна подкоренному выражению. Именно с арифметическим корнем работают в большинстве задач. Например, 4√16 = 2, потому что 2 неотрицательно и 2^4 = 16.

Степень с рациональным показателем

Понятие степени расширяют на дробные показатели через корень:

a^(m/n) = n√(a^m), где a > 0, m — целое, n — натуральное.

При этом сохраняются все привычные свойства степеней. Перечислим основные:

• при умножении степеней с одним основанием показатели складываются: a^p · a^q = a^(p+q);
• при делении показатели вычитаются: a^p : a^q = a^(p-q);
• при возведении степени в степень показатели перемножаются: (a^p)^q = a^(pq).

Степенная функция

Степенной называют функцию вида y = x^p, где p — заданное число. Её свойства зависят от показателя: его чётности, знака и того, целый он или дробный. Например, при чётном натуральном p график симметричен относительно оси ординат, а при нечётном — относительно начала координат. При отрицательном показателе функция не определена в нуле.

Разобранный пример

Вычислим 27^(2/3).

27^(2/3) = (3√27)^2 = 3^2 = 9.

Сначала извлекли кубический корень из 27, получив 3, затем возвели результат в квадрат. Можно было действовать и в обратном порядке — сначала возвести в квадрат, затем извлечь корень, — результат не изменился бы. На практике удобнее сперва извлекать корень, чтобы работать с меньшими числами.

Ещё один пример

Упростим выражение 16^(3/4).

16^(3/4) = (4√16)^3 = 2^3 = 8.

Частые ошибки. Извлекают корень чётной степени из отрицательного числа — это недопустимо. Забывают, что арифметический корень всегда неотрицателен, и приписывают ему знак «плюс-минус». Степень с дробным показателем определена только для положительного основания, об этом нельзя забывать.

Кратко о главном

• Корень n-й степени — число, n-я степень которого равна подкоренному выражению.
• Корень чётной степени определён только для неотрицательных чисел.
• Корень нечётной степени существует для любого числа и сохраняет его знак.
• Степень с рациональным показателем выражается через корень: a^(m/n) = n√(a^m).
• Свойства степенной функции зависят от показателя степени.