Уравнение касательной к графику функции

Касательная и её геометрический смысл

Касательная к графику функции в точке — это прямая, которая в окрестности точки касания прилегает к графику наиболее тесно. Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания. Именно в этом и состоит геометрический смысл производной: производная показывает крутизну графика, то есть наклон касательной.

Если касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол α, то её угловой коэффициент равен тангенсу этого угла: k = tg α = f'(x₀). Когда производная положительна, касательная идёт вверх; когда отрицательна — вниз; когда равна нулю — касательная горизонтальна.

Уравнение касательной

Пусть функция дифференцируема в точке с абсциссой x₀. Тогда уравнение касательной к графику в точке (x₀; f(x₀)) имеет вид:

y = f(x₀) + f'(x₀)·(x − x₀)

Чтобы составить это уравнение, нужно знать три величины: абсциссу точки касания x₀, значение функции f(x₀) в этой точке и значение производной f'(x₀). Первые две величины задают точку, через которую проходит прямая, а третья — её наклон. Подставив их в формулу, мы получаем готовое уравнение прямой.

Порядок составления

1. Найти значение функции f(x₀) в точке касания.
2. Найти производную f'(x) и вычислить её значение f'(x₀).
3. Подставить найденные числа в общую формулу.
4. Привести уравнение к виду y = kx + b.

Что означают величины

Разобранный пример

Составим уравнение касательной к графику функции f(x) = x^2 − 4x + 1 в точке с абсциссой x₀ = 3.

f(3) = 9 − 12 + 1 = −2
f'(x) = 2x − 4
f'(3) = 6 − 4 = 2
y = −2 + 2·(x − 3) = 2x − 8

Итак, искомая касательная задаётся уравнением y = 2x − 8. Её угловой коэффициент равен 2, то есть прямая поднимается, и она проходит через точку (3; −2), лежащую на графике параболы.

Бывает и обратная задача: найти точку, в которой касательная имеет заданный наклон. Тогда решают уравнение f'(x) = k относительно x и далее действуют по той же схеме.

Частые ошибки

Нельзя путать f(x₀) и f'(x₀): первое — это высота точки на графике, второе — наклон прямой. Также часто ошибочно пишут в формуле сумму вместо разности: правильно (x − x₀), а не (x + x₀).

Если в точке касательная горизонтальна, то f'(x₀) = 0. В такой точке функция нередко имеет максимум или минимум, поэтому уравнение касательной сводится к y = f(x₀).

Кратко о главном

• Угловой коэффициент касательной равен производной функции в точке касания.
• Уравнение касательной: y = f(x₀) + f'(x₀)·(x − x₀).
• Для составления нужны три числа: x₀, f(x₀) и f'(x₀).
• Горизонтальная касательная означает равенство производной нулю.