Критические и стационарные точки функции

Критические и стационарные точки

Критическими точками функции называют внутренние точки её области определения, в которых производная равна нулю либо не существует. Если в точке производная обращается в ноль, такую точку называют стационарной. Стационарные точки — частный случай критических: всякая стационарная точка критическая, но не наоборот.

Чем они важны

Именно среди критических точек ищут точки экстремума — максимумы и минимумы функции. По теореме Ферма, если во внутренней точке достигается экстремум и функция там дифференцируема, то производная в этой точке равна нулю. Поэтому исследование функции на экстремумы всегда начинают с поиска критических точек: они отбирают кандидатов, а лишних потом отсеивают проверкой.

Как искать

1. Найти область определения функции.
2. Вычислить производную f'(x).
3. Решить уравнение f'(x) = 0 — это даёт стационарные точки.
4. Найти точки, где производная не существует, но функция определена.
5. Все найденные точки и есть критические.

Разобранный пример

Найдём критические точки функции f(x) = x^3 − 3x.

Производная существует всюду, поэтому критические точки только стационарные: x = −1 и x = 1. Их дальше проверяют на экстремум по смене знака производной: слева от x = −1 производная положительна, между корнями отрицательна, справа от x = 1 снова положительна. Значит, x = −1 — точка максимума, x = 1 — точка минимума.

Правило. Не всякая критическая точка является экстремумом. Например, у функции f(x) = x^3 производная 3x^2 равна нулю при x = 0, но экстремума там нет — это точка перегиба с горизонтальной касательной. Поэтому после нахождения критических точек обязательно проверяют смену знака производной при переходе через каждую из них.

Частые ошибки

• Берут точки вне области определения функции.
• Забывают про точки, где производная не существует, ограничиваясь только уравнением f'(x) = 0.
• Сразу объявляют критическую точку экстремумом без проверки знаков.
• Теряют корни при решении уравнения f'(x) = 0.

Где это применяется

Поиск критических точек — обязательный этап в нескольких типах задач: при исследовании функции на монотонность, при построении графика, при нахождении наибольшего и наименьшего значения на отрезке и при решении прикладных задач на оптимизацию. Во всех этих случаях сначала находят критические точки, а затем анализируют поведение функции вокруг них. Поэтому уверенное владение этим приёмом — основа всей темы о применении производной, и отрабатывать его стоит на функциях разных видов: многочленах, дробях, корнях.

Кратко о главном

• Критические точки — где производная равна нулю или не существует.
• Стационарные точки — частный случай, где f'(x) = 0.
• Экстремумы ищут только среди критических точек.
• Критическая точка не всегда экстремум — нужна проверка знаков.