Свойства логарифмов и преобразование выражений

Что такое логарифм

Логарифмом числа b по основанию a называют показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить число b. Записывают это как log_a b = c, что по смыслу означает a^c = b. При этом основание положительно и не равно единице, а число под знаком логарифма строго положительно. Логарифм неразрывно связан со степенью: это, по сути, обратная операция к возведению в степень.

Основные свойства

Свойства логарифмов вытекают из свойств степеней и позволяют преобразовывать сложные выражения, сворачивая их или, наоборот, разбивая на части.

Кроме того, полезно помнить частные значения: log_a 1 = 0, потому что любое основание в нулевой степени равно единице, и log_a a = 1, потому что основание в первой степени равно самому себе.

Переход к новому основанию

Иногда нужно выразить логарифм через другое основание. Для этого применяют формулу перехода: log_a b = log_c b / log_c a, где c — любое допустимое основание. Частный случай: log_a b = 1 / log_b a. Это особенно удобно, когда в одном выражении встречаются логарифмы по разным основаниям и их нужно привести к общему.

Разобранный пример

Упростим выражение log_2 12 − log_2 3.

Мы свернули разность логарифмов в логарифм частного, а затем вычислили log_2 4, так как 2^2 = 4. Ответ равен 2. Заметьте, что напрямую вычислить log_2 12 было бы трудно, а после преобразования всё свелось к простому числу.

Частые ошибки. Пишут log_a (x + y) как сумму логарифмов — это неверно, свойства работают только для произведения и частного, а не для суммы или разности под знаком логарифма. Выносят за знак логарифма показатель степени основания, путая формулы. Берут логарифм отрицательного числа или нуля, что недопустимо.

Десятичный и натуральный логарифмы

Логарифм по основанию 10 обозначают lg x, а по основанию e — ln x и называют натуральным. Для них действуют все те же свойства, что и для логарифма с любым основанием, поэтому отдельных правил запоминать не нужно.

Зачем нужны эти свойства

Свойства логарифмов применяют не только для упрощения числовых выражений, но и при решении логарифмических уравнений и неравенств. Сворачивая сумму или разность логарифмов в один логарифм, мы приводим уравнение к виду, где под знаком логарифма стоит одно выражение, и тогда можно перейти к равенству самих выражений. Поэтому без уверенного владения этими формулами невозможно решать уравнения более сложного вида. Тренироваться удобно на выражениях вида log_a x + log_a y и n·log_a x, переводя их туда и обратно.

Кратко о главном

• Логарифм — показатель степени: log_a b = c означает a^c = b.
• Логарифм произведения равен сумме логарифмов, частного — разности.
• Показатель степени выносится множителем перед логарифмом.
• Свойства работают только для произведения и частного, но не для суммы.