Объём тела вращения через интеграл
📐 Алгебра · 11 класс
Объём тела вращения через интеграл
Тело вращения получается, когда плоская фигура — обычно криволинейная трапеция — вращается вокруг координатной оси. Так возникают цилиндр, конус, шар, параболоид и многие детали машин. Определённый интеграл позволяет точно вычислить объём такого тела, даже если граница задана произвольным графиком функции.
Основная формула
Пусть криволинейная трапеция ограничена графиком функции y = f(x), осью абсцисс и прямыми x = a и x = b. При вращении этой трапеции вокруг оси абсцисс объём полученного тела равен:
V = π·∫[a; b] f(x)² dx
Правило: объём тела вращения вокруг оси абсцисс — это интеграл от квадрата функции на отрезке вращения, умноженный на число «пи».
Почему формула именно такая
Тело мысленно разбивают на множество тонких слоёв перпендикулярными оси плоскостями. Каждый слой толщиной dx — почти цилиндр (диск) радиуса f(x) и высоты dx. Объём одного диска равен площади круга на толщину: π·f(x)²·dx. Суммируя объёмы всех дисков и переходя к пределу при бесконечно тонких слоях, мы и получаем определённый интеграл. Этот приём — мощный способ свести объёмную задачу к одномерному интегрированию.
Формулы для разных осей
| Ось вращения | Формула объёма | Пределы |
|---|---|---|
| Ось абсцисс | V = π·∫[a; b] f(x)² dx | по x |
| Ось ординат | V = π·∫[c; d] g(y)² dy | по y |
Разобранный пример
Найдём объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс трапеции под прямой y = x на отрезке от 0 до 3. Геометрически это конус с радиусом основания и высотой, равными трём.
V = π·∫[0; 3] x² dx = π·[x³ / 3] (от 0 до 3)
V = π·(27/3 − 0) = π·9 = 9π
Проверим по школьной формуле конуса: радиус основания R = 3, высота H = 3, тогда V = (1/3)·π·R²·H = (1/3)·π·9·3 = 9π. Результаты совпали, что подтверждает правильность интегральной формулы.
Второй пример
Вращением полукруга, заданного функцией y = √(R² − x²) на отрезке от −R до R, получается шар. Подставив эту функцию в формулу и проинтегрировав π·∫[−R; R] (R² − x²) dx, приходим к известному результату V = (4/3)·π·R³ — формуле объёма шара. Так интеграл выводит школьные формулы объёма как частные случаи.
Частые ошибки: забывают возвести функцию в квадрат и интегрируют саму функцию; теряют множитель «пи»; неверно расставляют пределы интегрирования; путают вращение вокруг оси абсцисс и оси ординат, не меняя переменную интегрирования.
Кратко о главном
- Объём при вращении вокруг оси абсцисс:
V = π·∫[a; b] f(x)² dx. - Тело мысленно режут на тонкие диски радиуса
f(x). - Формула даёт известные объёмы конуса и шара как частные случаи.
- Главное — не забыть квадрат функции и множитель «пи».