Тригонометрические неравенства

Что такое тригонометрическое неравенство

Тригонометрическим называют неравенство, содержащее переменную под знаком синуса, косинуса, тангенса или котангенса. Простейшие из них имеют вид sin x > a, cos x ≤ a и аналогичные. Для их решения удобнее всего пользоваться единичной окружностью, которая наглядно показывает, при каких углах выполняется нужное условие.

Решение тригонометрического неравенства, как правило, представляет собой бесконечное множество промежутков, повторяющихся с периодом тригонометрической функции.

Из-за периодичности функций нельзя ограничиться одним промежутком: ответ записывают в общем виде, добавляя слагаемое с периодом и целым параметром.

Единичная окружность как инструмент

На единичной окружности значение синуса угла — это ордината соответствующей точки, а значение косинуса — её абсцисса. Чтобы решить неравенство, отмечают на окружности дугу, на которой условие выполняется, и записывают границы этой дуги через арксинус или арккосинус. Такой геометрический подход помогает не запутаться в знаках и не потерять решения.

Порядок решения

1. Отметить на окружности граничные точки, решив соответствующее уравнение sin x = a.
2. Выделить дугу окружности, на которой неравенство выполняется.
3. Записать границы этой дуги через арксинус или арккосинус.
4. Добавить к границам период 2πn, где n — целое число.

Разобранный пример

Решим неравенство sin x > 1/2.

Граничное условие: sin x = 1/2 при x = π/6 и x = 5π/6.
На верхней дуге между этими точками значение синуса больше 1/2.
Ответ: π/6 + 2πn < x < 5π/6 + 2πn, где n — целое число.

Для косинуса рассуждают так же, но дугу выделяют относительно вертикальной прямой. Например, для неравенства cos x < 1/2 подходящая дуга расположена слева от точек x = π/3 и x = −π/3, и ответ записывают с тем же периодом: π/3 + 2πn < x < 5π/3 + 2πn. Важно следить за тем, в каких единицах записан угол, и не смешивать промежутки для разных функций.

Иногда тригонометрическое неравенство содержит не саму переменную, а выражение, например sin 2x > 0. Тогда сначала решают неравенство относительно вспомогательного аргумента, а затем выражают переменную. При этом период вспомогательного аргумента нужно соответствующим образом пересчитать, иначе часть решений будет потеряна.

Частые ошибки

Нельзя забывать слагаемое 2πn: без него теряется бесконечное множество решений. Также важно правильно выбрать дугу — именно ту, где условие действительно выполняется, а не противоположную ей.

Для строгих и нестрогих неравенств отличие состоит лишь в том, включаются ли граничные точки в ответ: при строгом неравенстве они исключаются.

Кратко о главном

• Тригонометрическое неравенство содержит переменную под тригонометрической функцией.
• Удобный инструмент решения — единичная окружность.
• Решение записывают в виде промежутков с периодом 2πn.
• Нужно верно выбрать дугу и не потерять период функции.