Формула Муавра и корни из комплексного числа

Формула Муавра и корни из комплексного числа

Формула Муавра позволяет легко возводить комплексное число в натуральную степень, если оно записано в тригонометрической форме. Из неё же выводится способ извлечения корней любой степени. Без этого аппарата возведение, скажем, в десятую степень потребовало бы многократного раскрытия скобок, а в тригонометрической форме всё сводится к умножению угла на число.

Возведение в степень

Если число записано как z = r·(cos φ + i·sin φ), то для любого натурального n справедливо:

z^n = r^n·(cos(n·φ) + i·sin(n·φ))

То есть модуль возводится в степень n, а аргумент умножается на n. Геометрически это растяжение и поворот, повторённые n раз. Такой подход во много раз быстрее, чем раскрывать скобки в алгебраической форме.

Правило: при возведении в степень n модуль становится равным r^n, а аргумент — равным n·φ.

Разобранный пример возведения

Вычислим (1 + i)^4. Ранее мы нашли, что 1 + i = √2·(cos(π/4) + i·sin(π/4)).

(1 + i)^4 = (√2)^4·(cos(4·π/4) + i·sin(4·π/4))

= 4·(cos π + i·sin π) = 4·(−1 + i·0) = −4

Прямое раскрытие скобок дало бы тот же ответ, но потребовало бы заметно больше вычислений.

Извлечение корней

Важная особенность: корень степени n из ненулевого комплексного числа имеет ровно n различных значений. Все они вычисляются по формуле:

w_k = ⁿ√r·(cos((φ + 2πk)/n) + i·sin((φ + 2πk)/n)), где k = 0, 1, ..., n − 1

Слагаемое 2πk в числителе и обеспечивает появление всех n различных корней. Все они лежат на одной окружности радиуса ⁿ√r и делят её на n равных частей, образуя вершины правильного многоугольника.

Сводка операций

Пример извлечения корня

Найдём корни √i, то есть корни второй степени из числа i. Запишем i = cos(π/2) + i·sin(π/2): модуль r = 1, аргумент φ = π/2, степень корня n = 2. Получаем два значения. При k = 0: w_0 = cos(π/4) + i·sin(π/4). При k = 1: w_1 = cos(5π/4) + i·sin(5π/4). Эти два корня противоположны друг другу и расположены на единичной окружности на одинаковом расстоянии один от другого.

Геометрический смысл корней

То, что корни делят окружность на равные части, — не случайность, а прямое следствие формулы: соседние значения отличаются аргументом ровно на 2π/n. Поэтому корни третьей степени образуют вершины правильного треугольника, четвёртой степени — квадрата, пятой — правильного пятиугольника, и так далее. Достаточно найти один корень, а остальные получить последовательным поворотом на угол 2π/n. Эта наглядная картина помогает не потерять ни одного значения и проверить ответ: все корни должны лежать на окружности одного радиуса и располагаться симметрично.

Частые ошибки: забывают, что корней ровно n, и находят только один; пропускают слагаемое 2πk в аргументе; путают, что в степень возводится именно модуль, а аргумент умножается; берут не все значения k от нуля до n − 1.

Кратко о главном

• Формула Муавра: z^n = r^n·(cos(n·φ) + i·sin(n·φ)).
• Корень степени n из ненулевого числа имеет ровно n значений.
• Корни делят окружность радиуса ⁿ√r на равные части.
• В аргументе корня обязательно присутствует слагаемое 2πk.