Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Постановка задачи

Во многих практических ситуациях требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Это классическая задача на оптимизацию: например, при каком размере коробки её объём будет максимальным или при каком расходе материала затраты окажутся минимальными. Производная даёт точный и универсальный способ решения таких задач.

Теорема Вейерштрасса: непрерывная на отрезке функция обязательно достигает на нём своего наибольшего и своего наименьшего значений.

Эта теорема гарантирует, что искомые значения существуют, и нам остаётся лишь найти точки, в которых они достигаются. Важно, что речь идёт именно об отрезке — замкнутом промежутке, включающем оба конца.

Где искать эти значения

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в критических точках, лежащих внутри отрезка, либо на концах отрезка. Других вариантов нет. Поэтому достаточно вычислить значения функции в этих нескольких точках и сравнить полученные числа между собой — самое большое будет наибольшим, самое маленькое наименьшим.

Алгоритм

1. Убедиться, что функция непрерывна на данном отрезке.
2. Найти производную и определить критические точки, попадающие внутрь отрезка.
3. Вычислить значения функции в этих критических точках.
4. Вычислить значения функции на обоих концах отрезка.
5. Из всех полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Разобранный пример

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x^3 − 3x на отрезке [0; 3].

f'(x) = 3x^2 − 3, корни уравнения f'(x) = 0: x = −1 и x = 1.
В отрезок [0; 3] попадает только точка x = 1.
f(0) = 0
f(1) = 1 − 3 = −2
f(3) = 27 − 9 = 18

Сравнивая числа 0, −2 и 18, получаем: наименьшее значение равно −2 и достигается в точке x = 1, а наибольшее равно 18 и достигается на правом конце при x = 3.

Отметим, что для гладких функций иногда удаётся обойтись без знаков производной: если внутри отрезка критическая точка единственная, обычно достаточно сравнить три значения.

Частые ошибки

Нельзя учитывать критические точки, которые не входят в отрезок: в нашем примере точка x = −1 лежит вне промежутка, поэтому её не рассматривают. Также нельзя забывать про концы отрезка — нередко именно там достигается экстремальное значение.

Кратко о главном

• Непрерывная функция достигает наибольшего и наименьшего значений на отрезке.
• Их ищут среди критических точек внутри отрезка и его концов.
• Достаточно вычислить значения функции в этих точках и сравнить.
• Критические точки вне отрезка в расчёт не берут.