Логарифмическое дифференцирование

Логарифмическое дифференцирование

Логарифмическое дифференцирование — приём нахождения производной, при котором функцию сначала логарифмируют, а затем дифференцируют как неявно заданную. Он незаменим для степенно-показательных функций вида y = u(x)^v(x), где и основание, и показатель степени зависят от переменной. Кроме того, приём заметно упрощает дифференцирование громоздких произведений и дробей.

Зачем нужен этот приём

Обычные правила дифференцирования не подходят к выражению x^x: это не степенная функция, потому что показатель переменный, и не показательная, потому что основание тоже переменное. Ни одна табличная формула здесь напрямую не работает. Логарифм спасает положение: он превращает степень в произведение, а произведение мы дифференцировать умеем.

Правило: логарифмируем обе части равенства, дифференцируем их как неявную функцию (учитывая, что y зависит от x), затем выражаем производную y'.

Порядок действий

1. Записываем y = u(x)^v(x) и логарифмируем обе части: ln y = v(x)·ln u(x).
2. Дифференцируем обе части по x; слева по правилу сложной функции получаем y'/y.
3. Выражаем y', умножая обе части на y.
4. Подставляем исходное выражение для y вместо буквы y.

Где применяют приём

Разобранный пример

Найдём производную функции y = x^x при x > 0.

Логарифмируем обе части: ln y = x·ln x.

Дифференцируем. Слева, поскольку y зависит от x, получаем (ln y)' = y'/y. Справа применяем правило произведения: (x·ln x)' = 1·ln x + x·(1/x) = ln x + 1.

Значит, y'/y = ln x + 1, откуда y' = y·(ln x + 1).

Подставляем y = x^x и получаем окончательный ответ:

y' = x^x·(ln x + 1)

Второй пример

Для функции y = x^(sin x) логарифмируем: ln y = sin x · ln x. Дифференцируем обе части: y'/y = cos x · ln x + sin x · (1/x). Отсюда выражаем производную и подставляем исходную функцию:

y' = x^(sin x)·(cos x·ln x + sin x / x)

Применение к произведениям

Тот же приём упрощает дифференцирование громоздких произведений и дробей. Логарифм произведения равен сумме логарифмов, а логарифм частного — разности, поэтому после логарифмирования длинная цепочка множителей превращается в сумму отдельных слагаемых, каждое из которых дифференцируется элементарно. Это особенно удобно, когда в выражении несколько корней и степеней: вместо многократного применения правила произведения мы работаем с простой суммой.

Частые ошибки: пытаются применить формулу степенной функции к переменному показателю; забывают, что при дифференцировании левой части возникает y'/y, а не просто y'; в конце не подставляют исходное выражение вместо y; теряют знак при дифференцировании логарифма.

Кратко о главном

• Приём нужен для функций вида u(x)^v(x) и длинных произведений.
• Сначала логарифмируем: ln y = v·ln u.
• После дифференцирования левой части возникает y'/y.
• Итог: y' = y·(...), где вместо y подставляем исходное выражение.