Вторая производная, выпуклость и точки перегиба

Вторая производная

Вторая производная — это производная от производной функции; её обозначают f''(x). Чтобы её найти, нужно сначала продифференцировать функцию и получить первую производную, а затем продифференцировать полученное выражение ещё раз. Если первая производная характеризует скорость изменения функции, то вторая производная показывает, как меняется сама эта скорость, то есть ускорение изменения.

В физике первая производная координаты по времени — это скорость, а вторая производная — ускорение. Этот пример помогает почувствовать смысл понятия. В алгебре же вторая производная нужна прежде всего для исследования формы графика.

Выпуклость графика

График функции называют выпуклым вниз на промежутке, если он лежит выше своих касательных и напоминает чашу, и выпуклым вверх, если он лежит ниже касательных и напоминает купол. Знак второй производной точно указывает направление выпуклости.

Если на промежутке f''(x) > 0, то график выпуклый вниз; если f''(x) < 0, то график выпуклый вверх.

Точки перегиба

Точка перегиба — это точка, в которой направление выпуклости графика меняется: чаша переходит в купол или наоборот. В точке перегиба вторая производная равна нулю или не существует, причём при переходе через эту точку знак f''(x) обязательно меняется. Если знак не меняется, перегиба нет.

Разобранный пример

Исследуем на выпуклость функцию f(x) = x^3.

f'(x) = 3x^2
f''(x) = 6x
При x < 0 вторая производная отрицательна — выпуклость вверх.
При x > 0 вторая производная положительна — выпуклость вниз.

В точке x = 0 вторая производная обращается в нуль и при переходе через эту точку меняет знак, значит x = 0 — точка перегиба. Слева от неё кубическая парабола выгнута вверх, справа — вниз.

Вторая производная и экстремумы

Вторую производную применяют и для проверки характера критических точек. Если в критической точке f'(x₀) = 0 и при этом f''(x₀) > 0, то это точка минимума; если же f''(x₀) < 0, то это точка максимума. Этот признак часто удобнее, чем разбор знаков первой производной.

Частые ошибки

Равенство f''(x) = 0 само по себе не гарантирует перегиб. Нужно обязательно проверить, что знак второй производной действительно меняется при переходе через точку, иначе перегиба нет.

Кратко о главном

• Вторая производная — это производная от первой производной.
• Её знак задаёт направление выпуклости графика.
• Точка перегиба — точка смены выпуклости, где f''(x) меняет знак.
• Вторая производная помогает различать максимум и минимум.