Логарифмические неравенства

Что такое логарифмическое неравенство

Логарифмическим называют неравенство, в котором переменная стоит под знаком логарифма. Простейший его вид — log_a f(x) > log_a g(x). Чтобы решать такие неравенства верно, необходимо учитывать сразу два обстоятельства: область допустимых значений и свойство монотонности логарифмической функции, которое зависит от основания.

Решение логарифмического неравенства всегда начинают с области допустимых значений: выражения, стоящие под знаком логарифма, должны быть строго положительными.

Это требование вытекает из самого определения логарифма: логарифм определён только для положительных чисел. Если пропустить этот шаг, в ответ могут попасть значения, при которых исходное выражение вообще не имеет смысла.

Влияние основания

Направление неравенства при переходе от логарифмов к их аргументам зависит от величины основания a:

Причина в поведении логарифмической функции: при основании больше единицы логарифм возрастает, поэтому большему логарифму соответствует больший аргумент. При основании между нулём и единицей логарифм убывает, и большему логарифму соответствует уже меньший аргумент — отсюда смена знака неравенства.

Порядок решения

1. Найти область допустимых значений, потребовав положительности выражений под логарифмами.
2. Сравнить основание логарифма с единицей.
3. Перейти к неравенству для аргументов, сохранив или поменяв знак.
4. Решить полученное неравенство и пересечь ответ с областью допустимых значений.

Разобранный пример

Решим неравенство log_2 (x − 1) < 3.

Область допустимых значений: x − 1 > 0, то есть x > 1.
Представим правую часть как логарифм: 3 = log_2 8.
Основание 2 > 1, поэтому знак сохраняется: x − 1 < 8, откуда x < 9.
Пересекаем с областью допустимых значений: 1 < x < 9.

Ответ: x ∈ (1; 9). Рассмотрим случай с основанием меньше единицы: в неравенстве log_(1/3) x > 1 область допустимых значений требует x > 0, правую часть записывают как log_(1/3) (1/3), и при переходе знак меняется на противоположный, поэтому получаем x < 1/3. С учётом области ответ принимает вид 0 < x < 1/3.

Когда логарифм стоит только в одной части неравенства, число в другой части удобно представить как логарифм с тем же основанием. Если же неравенство сводится к квадратному относительно логарифма, применяют замену t = log_a x и сначала решают полученное квадратное неравенство, а затем возвращаются к переменной.

Частые ошибки

Самая опасная ошибка — забыть про область допустимых значений и включить в ответ точки, где аргумент логарифма неположителен. Вторая ошибка — не поменять знак неравенства при основании меньше единицы.

Кратко о главном

• Логарифмическое неравенство содержит переменную под знаком логарифма.
• Решение начинают с области допустимых значений.
• При основании больше единицы знак сохраняется, при меньшем — меняется.
• Итоговый ответ обязательно пересекают с областью допустимых значений.