Производная сложной функции

Что такое сложная функция

Сложная функция (или композиция функций) — это функция, аргументом которой служит не сама переменная, а другая функция от этой переменной. Например, в выражении y = sin(3x + 1) внешней функцией является синус, а внутренней — линейная функция u = 3x + 1. Чтобы вычислить значение сложной функции в точке, сначала находят значение внутренней функции, а затем подставляют его во внешнюю.

В одиннадцатом классе умение дифференцировать сложные функции — один из ключевых навыков. Без него не обойтись при исследовании функций, составлении уравнения касательной, решении задач на оптимизацию и заданий с параметрами. Почти каждая функция в реальной задаче является сложной, поэтому правило её дифференцирования встречается постоянно.

Правило дифференцирования

Если функция задана как y = f(g(x)), то её производная равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу на производную внутренней функции:

Производная сложной функции: y' = f'(u) · u', где u = g(x).

Словами это правило формулируют так: берём производную «снаружи внутрь», и на каждом шаге умножаем на производную следующего, более глубокого слоя. Из-за такой последовательности умножений правило называют цепным. Можно представить функцию как набор вложенных оболочек: дифференцируя, мы снимаем их одну за другой, и каждый снятый слой добавляет в произведение новый множитель.

Порядок действий

1. Выделить внешнюю и внутреннюю функции, то есть понять, что выполняется в последнюю очередь.
2. Найти производную внешней функции по табличной формуле, не трогая внутреннюю.
3. Умножить полученный результат на производную внутренней функции.
4. При необходимости упростить выражение.

Таблица типичных случаев

Разобранный пример

Найдём производную функции y = (2x^2 + 5)^4. Здесь внешняя функция — возведение в четвёртую степень, а внутренняя — многочлен u = 2x^2 + 5.

y' = 4·(2x^2 + 5)^3 · (2x^2 + 5)'
(2x^2 + 5)' = 4x
y' = 4·(2x^2 + 5)^3 · 4x = 16x·(2x^2 + 5)^3

Рассмотрим ещё один пример с тремя слоями: y = cos(ln(3x)). Внешняя функция — косинус, средняя — натуральный логарифм, внутренняя — 3x. Тогда производная равна произведению трёх множителей:

y' = -sin(ln(3x)) · (1/(3x)) · 3 = -sin(ln(3x)) / x

Частые ошибки

Самая распространённая ошибка — забыть умножить на производную внутренней функции. Запись y' = 4·(2x^2 + 5)^3 неполна: множитель 4x обязателен. Вторая ошибка — неверно определить, какая функция внешняя, а какая внутренняя.

Если вложений в выражении больше двух, цепное правило применяют столько раз, сколько слоёв. Каждый новый множитель — это производная очередного внутреннего выражения.

Кратко о главном

• Сложная функция — это функция от функции, её мысленно разбивают на слои.
• Производная равна произведению производных всех слоёв.
• Дифференцируют снаружи внутрь, не теряя множитель от внутренней функции.
• Цепное правило применяют столько раз, сколько вложений в выражении.