Логарифмические уравнения

Что такое логарифмическое уравнение

Логарифмическим называют уравнение, в котором неизвестная содержится под знаком логарифма или в его основании. Простейший вид — log_a(x) = b, его решение находится прямо по определению логарифма: x = a^b. Логарифмические уравнения входят в обязательную программу 11 класса и встречаются на экзамене.

Главная особенность таких уравнений — необходимость учитывать область допустимых значений (сокращённо ОДЗ). Все выражения, стоящие под знаком логарифма, должны быть строго положительными, а основание — положительным и не равным единице. Если этого не проверить, в ответ может попасть посторонний корень.

Основные методы решения

1. По определению логарифма. Уравнение log_a(f) = b заменяют на f = a^b.
2. Потенцирование. Если уравнение приведено к виду log_a(f) = log_a(g), то переходят к равенству f = g с учётом ОДЗ.
3. Замена переменной. Применяют, когда логарифм входит несколько раз, например вводят t = log_a(x) и получают алгебраическое уравнение.
4. Свойства логарифмов. Сумму или разность логарифмов сворачивают в один логарифм перед потенцированием, а множитель перед логарифмом вносят как показатель степени.

Выбор метода зависит от вида уравнения. Если логарифм один, обычно достаточно определения. Если логарифмов несколько с одинаковым основанием — помогают свойства и потенцирование. Если логарифм входит в нескольких степенях — выручает замена переменной.

Разобранный пример

Решим уравнение log_3(x - 2) = 2.

ОДЗ: x - 2 > 0 => x > 2.

По определению: x - 2 = 3^2 = 9.

x = 11.

Корень x = 11 удовлетворяет условию x > 2, значит, он подходит и является ответом.

Пример с потенцированием

Решим log_5(x) + log_5(x - 4) = 1.

ОДЗ: x > 0 и x - 4 > 0, то есть x > 4.

Сворачиваем сумму: log_5(x·(x - 4)) = 1.

x·(x - 4) = 5 => x^2 - 4x - 5 = 0.

Корни: x = 5 и x = -1.

Корень x = -1 не входит в ОДЗ, поэтому отбрасывается. Ответ: x = 5.

Пример с заменой

Решим (log_2(x))^2 - 3·log_2(x) + 2 = 0.

Пусть t = log_2(x). Тогда t^2 - 3t + 2 = 0.

Корни: t = 1 и t = 2.

log_2(x) = 1 => x = 2; log_2(x) = 2 => x = 4.

Частые ошибки. Самая распространённая — не записать ОДЗ и оставить посторонний корень. Нельзя приравнивать аргументы логарифмов с разными основаниями. Проверка корней в исходном уравнении обязательна, особенно после возведения в степень или сворачивания суммы логарифмов.

Кратко о главном

• В любом логарифмическом уравнении сначала записывают ОДЗ.
• Уравнение log_a(f) = b решают переходом f = a^b.
• Равные логарифмы с одним основанием позволяют приравнять их аргументы.
• Замена переменной упрощает уравнения, квадратные относительно логарифма.
• Полученные корни обязательно проверяют на принадлежность ОДЗ.