Комплексные числа
📐 Алгебра · 11 класс
Комплексные числа
Уравнение x² = −1 не имеет действительных корней: квадрат любого действительного числа неотрицателен. Чтобы преодолеть это ограничение, математики ввели мнимую единицу i, для которой по определению i² = −1. Комплексное число записывают в виде z = a + bi, где a — действительная часть, а b — мнимая часть. Так множество чисел расширили: теперь любое квадратное уравнение имеет корни.
Форма записи и термины
Запись a + bi называют алгебраической формой комплексного числа. Если b = 0, число становится обычным действительным; если a = 0, число называют чисто мнимым. Число a − bi называют сопряжённым к a + bi — оно играет ключевую роль при делении. Произведение числа на сопряжённое всегда даёт действительное число: (a+bi)(a−bi) = a² + b².
Действия с комплексными числами
| Действие | Правило |
|---|---|
| Сложение | Складывают части по отдельности: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i |
| Вычитание | Аналогично: (a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i |
| Умножение | Раскрывают скобки как у многочленов, учитывая i² = −1 |
| Деление | Умножают числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателя |
Любое комплексное число удобно изображать точкой на координатной плоскости: по горизонтальной оси откладывают действительную часть, по вертикальной — мнимую. Такую плоскость называют комплексной.
Разбор примера
Перемножим (2 + 3i)(1 − 2i).
Шаг 1. Раскрываем скобки как обычный многочлен:
2·1 + 2·(−2i) + 3i·1 + 3i·(−2i).
Шаг 2. Считаем каждое слагаемое: 2 − 4i + 3i − 6i².
Шаг 3. Заменяем i² на −1: слагаемое −6i² = −6·(−1) = +6.
Шаг 4. Собираем отдельно действительные и мнимые части:
(2 + 6) + (−4i + 3i) = 8 − i.
Ответ: 8 − i.
Главный приём здесь — не забывать о замене i² = −1, благодаря которой часть слагаемых становится действительными.
Степени мнимой единицы
Степени числа i повторяются по кругу с периодом четыре. Посчитаем: i¹ = i, i² = −1, i³ = i² · i = −i, i⁴ = (i²)² = 1, а дальше всё начинается заново. Чтобы найти любую степень, делят показатель на 4 и смотрят на остаток: остаток 0 даёт 1, остаток 1 даёт i, остаток 2 даёт −1, остаток 3 даёт −i. Например, i¹⁰ — остаток от деления 10 на 4 равен 2, значит i¹⁰ = −1. Зачем нужны комплексные числа: благодаря им любое уравнение степени n имеет ровно n корней — в этом утверждает основная теорема алгебры.
Частые ошибки: забывают, что i² = −1, и оставляют i² в ответе; путают мнимую и действительную части при сложении; при делении не используют сопряжённое и не избавляются от i в знаменателе, оставляя ответ в незаконченном виде.
Кратко о главном
- Мнимая единица определяется равенством
i² = −1. - Комплексное число:
z = a + bi, где a и b действительные. - Сложение и вычитание выполняют по частям; при умножении применяют
i² = −1. - Деление выполняют через умножение на сопряжённое знаменателя.
- Каждое число изображается точкой на комплексной плоскости.