Супремум и инфимум: точные границы числового множества
📐 Алгебра · 11 класс
Супремум числового множества — наименьшая из его верхних граней. Инфимум — наибольшая из нижних. Грань ограничивает все элементы с одной стороны, но не обязана сама принадлежать мн
Супремум числового множества — наименьшая из его верхних граней. Инфимум — наибольшая из нижних. Грань ограничивает все элементы с одной стороны, но не обязана сама принадлежать множеству. Поэтому супремум не всегда является максимумом, а инфимум — минимумом.
Сначала найдите все ограничения
Рассмотрим множество A=(2;5). Любое число не меньше 5 служит верхней гранью: все элементы A меньше него. Наименьшая такая грань —5, значит supA=5. Но числа 5 в A нет, поэтому максимума не существует. Снизу аналогично: infA=2, а минимума нет.
Если заменить множество на [2;5), инфимум останется 2, и теперь он является минимумом, потому что 2 принадлежит множеству. Супремум по-прежнему 5 без достижения. Скобки в записи интервала меняют наличие крайних элементов, но не обязательно положение точных границ.
Точность — второе условие
Чтобы доказать supA=s, недостаточно показать x≤s для всехx∈A. Нужно ещё исключить меньшую верхнюю грань. Удобная формулировка: для любого ε>0 найдётся элемент x∈A, превышающий s−ε. То есть к s можно приблизиться снизу элементами множества сколь угодно близко.
Для инфимума зеркально: все элементы не меньшеm, а для любогоε>0 найдётся элемент меньше m+ε. В этих условиях строгие и нестрогие знаки имеют значение. Путаница «наибольшая верхняя грань» неверна: над ограниченным сверху множеством обычно можно находить всё большие верхние грани без конца.
Разбор последовательного множества
Пусть B={1/n: n — положительное целое}. Верхняя точная грань 1 достигается приn=1, поэтому maxB=1. Нижняя точная грань 0 не достигается: все элементы положительны. Для любого положительногоε можно взятьn>1/ε, тогда 1/n<ε. Следовательно, infB=0 и минимума нет.
В действительных числах непустое множество, ограниченное сверху, имеет конечный супремум; аналогичное утверждение верно снизу. Для неограниченного сверху множества не нужно придумывать самое большое действительное число. В расширенной записи иногда используют+∞, но это отдельная договорённость.
Задания с ответами
1. Для C={−2,0,7} найдите грани и крайние элементы. supC=maxC=7, infC=minC=−2. 2. Для D=(−∞;4] ответ: supD=maxD=4; конечного инфимума нет. 3. Для E={1−1/n: n≥1} получаем infE=minE=0, supE=1 без максимума.
Проверяйте решение двумя вопросами: ограничивает ли число все элементы и нельзя ли сдвинуть его ближе к множеству. Если обсуждается максимум, добавьте третий: принадлежит ли оно множеству? Так определения перестают быть списком похожих слов и превращаются в надёжный способ доказательства.
Когда множество не содержит границу
Докажем точность числа 5 для интервала (2;5) без ссылки на рисунок. Любое число t<5 не является верхней гранью: если t≤2, подойдёт элемент 3, а если 2<t<5, число (t+5)/2 лежит в интервале и превосходит t. Само 5 ограничивает все элементы сверху. Вместе два рассуждения устанавливают и наличие верхней грани, и её наименьший характер. Так доказательство отделяет условие ограничения от условия точности.
Связанные материалы
Что такое линейное неравенство, Понятие предела последовательности.
Источники и проверка
Университет ИТМО: Основы дискретной математики, верхние и нижние грани.