Линейные неравенства
📐 Алгебра · 7 класс
Что такое линейное неравенство
Линейное неравенство с одной переменной — это неравенство вида ax + b > 0 (или со знаками <, ≥, ≤), где переменная входит в первой степени. Решить неравенство — значит найти все значения переменной, при которых оно становится верным. В отличие от уравнения, у неравенства обычно не один корень, а целый промежуток чисел.
Главное правило знака
Неравенство решают почти так же, как уравнение: переносят слагаемые со сменой знака и делят на коэффициент. Но есть важнейшее отличие: при умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Например, из −2x < 6 получаем x > −3 — знак перевернулся.
Числовые промежутки
Ответ к неравенству записывают в виде числового промежутка. Запомните обозначения.
| Неравенство | Промежуток | Скобка |
|---|---|---|
x > 3 | (3; +∞) | круглая — 3 не входит |
x ≥ 3 | [3; +∞) | квадратная — 3 входит |
x < 5 | (−∞; 5) | круглая — 5 не входит |
x ≤ 5 | (−∞; 5] | квадратная — 5 входит |
У бесконечности всегда круглая скобка: её «достичь» нельзя.
Пошаговый пример
Решим неравенство 3 − 4x ≥ 11.
Дано: 3 − 4x ≥ 11
Шаг 1. Переносим 3 вправо со сменой знака:
−4x ≥ 11 − 3
−4x ≥ 8
Шаг 2. Делим обе части на −4.
Делим на отрицательное —
ЗНАК МЕНЯЕМ на противоположный:
x ≤ 8 / (−4)
x ≤ −2
Шаг 3. Записываем промежуток:
x ∈ (−∞; −2]
Ответ: x ≤ −2, то есть (−∞; −2].Частые ошибки. 1) Забывают перевернуть знак при делении на отрицательное число — это самая распространённая ошибка. 2) Ставят квадратную скобку рядом с бесконечностью. 3) Путают, входит ли граница: при знаках ≤ и ≥ граница входит (квадратная скобка и закрашенная точка), при < и > — не входит.
Изображение на прямой
Решение удобно показывать на координатной прямой: границу отмечают точкой (закрашенной, если она входит, и пустой, если нет), а нужную часть прямой штрихуют. Это помогает не ошибиться в направлении. Закрашенная точка соответствует квадратной скобке, пустая — круглой.
Как проверить ответ
Чтобы убедиться в правильности решения, достаточно взять любое число из найденного промежутка и подставить его в исходное неравенство. Если получилось верное числовое неравенство — решение найдено правильно. Например, для ответа x ≤ −2 возьмём x = −5: подставив в 3 − 4x ≥ 11, получим 3 + 20 = 23 ≥ 11 — верно. А число вне промежутка, например x = 0, должно давать неверное неравенство, и оно действительно даёт 3 ≥ 11 — ложь. Такая двойная проверка почти исключает ошибки.
Кратко о главном
- Линейное неравенство задаёт не одно число, а промежуток решений.
- Решают переносом слагаемых и делением на коэффициент.
- При делении или умножении на отрицательное число знак переворачивается.
- Круглая скобка — граница не входит, квадратная — входит.
- У бесконечности скобка всегда круглая.