Свойство биссектрисы треугольника

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Биссектриса делит угол пополам, но главное свойство, изучаемое в 8 классе, описывает, как она делит противоположную сторону.

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум прилежащим сторонам.

Формулировка через буквы

Пусть в треугольнике ABC биссектриса из вершины A пересекает сторону BC в точке L. Тогда выполняется пропорция:

BL / LC = AB / AC

То есть отрезок, прилежащий к большей стороне, оказывается длиннее. Свойство доказывается через подобие или через проведение вспомогательной прямой, параллельной биссектрисе. Из пропорции видно, что положение точки L полностью определяется отношением сторон.

Идея доказательства

Через вершину C проводят прямую, параллельную биссектрисе AL, до пересечения с продолжением стороны AB. Возникающий равнобедренный треугольник и теорема о пропорциональных отрезках при параллельных прямых дают нужную пропорцию. Достаточно понимать общую логику: всё сводится к подобию и параллельности.

Разбор примера 1

В треугольнике ABC сторона AB = 6, AC = 4, а BC = 10. Биссектриса из вершины A делит сторону BC. Найдём BL и LC.

BL / LC = 6 / 4 = 3 / 2. Пусть BL = 3x, LC = 2x. Тогда 3x + 2x = 10, x = 2. Значит BL = 6, LC = 4.

Разбор примера 2

Пусть AB = 8, AC = 12, а BC = 15. Тогда BL / LC = 8 / 12 = 2 / 3, отсюда BL = 6, LC = 9. Меньший отрезок прилежит к меньшей стороне.

Как решать такие задачи

Общий план решения одинаков для всех задач на это свойство. Сначала записывают пропорцию BL / LC = AB / AC и сокращают её до простого вида. Затем обозначают части стороны через одну переменную, например BL = m * x и LC = n * x, где m и n — числа из сокращённого отношения. После этого складывают части, приравнивают к длине всей стороны и находят x. Наконец, подставляют найденное значение и получают длины обоих отрезков. Этот алгоритм работает всегда, когда известны обе прилежащие стороны и длина противоположной стороны.

Частые ошибки. В пропорции отрезок ставят в соответствие прилежащей стороне, а не противоположной. Свойство относится к биссектрисе угла треугольника, а не к серединному перпендикуляру или медиане. Медиана делит сторону пополам всегда, а биссектриса — только если треугольник равнобедренный.

Кратко о главном

• Биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон.
• Формула: BL / LC = AB / AC.
• К большей стороне примыкает больший отрезок.
• Доказательство опирается на параллельность и подобие.