Прямоугольный треугольник
📏 Геометрия · 7 класс
Что такое прямоугольный треугольник
Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов прямой, то есть равен 90 градусам. Такой треугольник встречается во многих задачах и имеет особые названия для своих сторон. Изучение прямоугольных треугольников в 7 классе готовит почву для теоремы Пифагора и тригонометрии в старших классах.
Стороны прямоугольного треугольника
- Гипотенуза — сторона, лежащая против прямого угла. Это самая длинная сторона треугольника.
- Катеты — две стороны, образующие прямой угол.
Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, а один угол прямой, то два острых угла прямоугольного треугольника в сумме дают:
острый угол + острый угол = 180 - 90 = 90 градусовСвойства
Для прямоугольного треугольника в 7 классе важны такие свойства:
- Сумма двух острых углов равна 90 градусам, то есть они дополняют друг друга.
- Катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.
- Если катет равен половине гипотенузы, то противолежащий ему угол равен 30 градусам.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Кроме общих признаков равенства треугольников, для прямоугольных есть удобные специальные признаки. Они позволяют доказывать равенство треугольников, опираясь всего на два элемента, ведь прямой угол уже известен.
| Признак | По каким элементам |
|---|---|
| По двум катетам | Равны два катета одного и два катета другого |
| По катету и острому углу | Равны катет и прилежащий острый угол |
| По гипотенузе и острому углу | Равны гипотенуза и острый угол |
| По гипотенузе и катету | Равны гипотенуза и один катет |
Пример
В прямоугольном треугольнике один острый угол равен 30 градусам, гипотенуза равна 10 сантиметрам. Найдём катет, лежащий против этого угла.
катет = гипотенуза : 2 = 10 : 2 = 5 сантиметровВторой острый угол равен 90 - 30 = 60 градусов, а катет против него длиннее, потому что против большего угла лежит большая сторона. Этот же приём с признаками равенства позволяет доказывать, что в прямоугольном треугольнике высота, проведённая из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному, — это пригодится в старших классах.
Частые ошибки. Гипотенуза всегда лежит против прямого угла — её нельзя выбирать произвольно. Свойство «катет против 30 градусов равен половине гипотенузы» работает только для угла именно в 30 градусов, а не для любого острого угла.
Кратко о главном
- Прямоугольный треугольник имеет угол 90 градусов.
- Сторона против прямого угла — гипотенуза, две другие — катеты.
- Два острых угла в сумме дают 90 градусов.
- Катет против угла 30 градусов равен половине гипотенузы.
- Есть специальные признаки равенства прямоугольных треугольников.