Высоты остроугольного и тупоугольного треугольника

Высоты остроугольного и тупоугольного треугольника

Высотой треугольника называют перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. У каждого треугольника три высоты — по одной из каждой вершины. Но расположены эти высоты по-разному, и зависит это от вида треугольника по его углам.

Высоты в остроугольном треугольнике

В остроугольном треугольнике все три угла меньше 90°. В таком треугольнике основание каждой высоты лежит прямо на стороне, а все три высоты целиком проходят внутри треугольника. Это самый простой и привычный случай.

Высоты в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают с катетами, потому что катеты перпендикулярны друг другу. Третья высота опущена из вершины прямого угла на гипотенузу и проходит внутри треугольника. Таким образом, две из трёх высот здесь совпадают со сторонами.

Высоты в тупоугольном треугольнике

В тупоугольном треугольнике один из углов больше 90°. Здесь две высоты выходят за пределы самого треугольника: чтобы опустить перпендикуляр из вершины острого угла, противоположную сторону приходится мысленно продлевать. Основание такой высоты попадает не на саму сторону, а на её продолжение.

Почему так происходит

Тупоугольный треугольник ABC, угол A тупой.
Чтобы провести высоту из вершины B,
нужен перпендикуляр к прямой AC.
Нога этого перпендикуляра попадает
на ПРОДОЛЖЕНИЕ стороны AC за точку A.
⇒ высота проходит вне треугольника.

Частая ошибка. Думать, что высота всегда находится внутри треугольника. Высоту определяют как перпендикуляр к прямой, содержащей сторону, а не к самому отрезку. Поэтому в тупоугольном треугольнике высота вполне может лежать снаружи фигуры.

Точка пересечения высот

Прямые, на которых лежат три высоты треугольника, всегда пересекаются в одной общей точке. У остроугольного треугольника эта точка находится внутри фигуры. У прямоугольного она совпадает с вершиной прямого угла. А у тупоугольного треугольника точка пересечения высот лежит вне треугольника.

Как строить высоту

Чтобы построить высоту, из вершины опускают перпендикуляр на противоположную сторону или на её продолжение с помощью угольника или циркуля. В тупоугольном случае нужно сначала продлить сторону, а уже затем опускать на неё перпендикуляр. Аккуратное построение помогает не запутаться в расположении высот.

Кратко о главном

• Высота — перпендикуляр из вершины к прямой противоположной стороны.
• В остроугольном треугольнике все высоты лежат внутри.
• В прямоугольном две высоты совпадают с катетами.
• В тупоугольном две высоты лежат вне треугольника.
• Основание высоты может попадать на продолжение стороны.
• Прямые трёх высот пересекаются в одной точке.