Перпендикулярные прямые

Перпендикулярные прямые

Перпендикулярными называют две прямые, которые пересекаются под прямым углом. Перпендикулярность обозначают значком ⊥: запись a ⊥ b читается «прямая a перпендикулярна прямой b». Перпендикулярность — взаимное свойство: если a ⊥ b, то и b ⊥ a. Перпендикулярными могут быть не только прямые, но и отрезки и лучи, лежащие на перпендикулярных прямых.

Почему все углы прямые

Когда две прямые пересекаются под прямым углом, все четыре образующихся угла оказываются прямыми. Это следует из свойств смежных и вертикальных углов. Если один из углов равен 90 градусам, то смежный с ним угол равен 180° − 90° = 90°. Вертикальные углы равны между собой, поэтому два оставшихся угла тоже по 90 градусов. Значит, достаточно знать, что хотя бы один угол прямой, чтобы утверждать перпендикулярность прямых.

Свойства перпендикулярных прямых

Через любую точку плоскости можно провести прямую, перпендикулярную данной, и притом только одну. Это верно и для точки, лежащей на самой прямой, и для точки вне её. Ещё одно важное свойство связывает перпендикулярность с параллельностью: две прямые, перпендикулярные одной и той же третьей прямой, не пересекаются, то есть параллельны между собой.

Перпендикуляр к прямой

Из понятия перпендикулярности вытекает важное определение: перпендикуляр к прямой — это отрезок прямой, перпендикулярной данной, от точки до основания. Перпендикуляр используют, чтобы измерять расстояние от точки до прямой. Перпендикулярность прямых лежит в основе таких понятий, как высота треугольника и расстояние между параллельными прямыми.

Построение перпендикуляра

Чтобы построить перпендикуляр к прямой через данную точку, используют циркуль и линейку. Из точки проводят дугу, пересекающую прямую в двух точках, а затем из этих точек одинаковым раствором циркуля проводят дуги до пересечения. Соединив точку пересечения дуг с исходной точкой, получают перпендикуляр. Этот способ работает и тогда, когда точка лежит на прямой, и тогда, когда она находится вне её.

Разобранный пример

Прямые a и b перпендикулярны и пересекаются в точке O. Один из углов при пересечении обозначен ∠1. Найдём остальные три угла.

∠1 = 90° (по условию перпендикулярности)
∠2 = ∠3 = ∠4 = 90°
Все четыре угла при пересечении перпендикулярных прямых прямые.

Частые ошибки. Считают, что перпендикулярными могут быть только пересекающиеся отрезки, забывая о лучах и прямых. Путают значок перпендикулярности ⊥ со значком параллельности ∥. Думают, что через точку можно провести несколько перпендикуляров к прямой, хотя он всегда единственный.

Кратко о главном

• Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом.
• Обозначение — a ⊥ b, свойство взаимное.
• При пересечении образуются четыре прямых угла.
• Через любую точку проходит ровно одна прямая, перпендикулярная данной.
• Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.