Метод координат
📏 Геометрия · 8 класс
Метод координат
Метод координат позволяет описывать геометрические фигуры с помощью чисел и тем самым соединяет геометрию с алгеброй. На плоскости задают две перпендикулярные оси — оси координат (ось абсцисс и ось ординат), и тогда каждая точка получает пару чисел (x; y), которые называют её координатами. Благодаря этому длины, расстояния и середины отрезков можно вычислять по точным формулам, не прибегая к измерениям линейкой.
Этот метод придумал французский математик Рене Декарт, поэтому прямоугольную систему координат называют декартовой. Точку пересечения осей называют началом координат, она имеет координаты (0; 0). Первую координату x называют абсциссой, вторую y — ординатой.
Координаты вектора и расстояние между точками
Если даны точки A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), то координаты вектора AB находят вычитанием координат начала из координат конца: {x₂ − x₁; y₂ − y₁}. Расстояние между двумя точками вычисляют по формуле, которая прямо следует из теоремы Пифагора, если построить прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям.
| Величина | Формула | Что вычисляет |
|---|---|---|
| Координаты вектора AB | {x₂−x₁; y₂−y₁} | Разность координат |
| Длина вектора | √(a² + b²) | Длину отрезка по координатам |
| Расстояние AB | √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) | Расстояние между точками |
| Середина отрезка | ((x₁+x₂)/2; (y₁+y₂)/2) | Координаты середины |
Деление отрезка пополам
Координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих координат его концов. Это удобно для нахождения центра отрезка, проверки того, что диагонали делятся пополам, и для построения медиан. Формула простая, но именно её часто применяют в задачах на доказательство свойств фигур координатным методом. Например, чтобы доказать, что четырёхугольник — параллелограмм, достаточно показать, что середины его диагоналей совпадают: для этого вычисляют координаты середины каждой диагонали и сравнивают их.
Разбор примера
Дано: A(1; 2), B(4; 6). Найти длину AB и середину M.
Шаг 1. Разности координат: 4 − 1 = 3 и 6 − 2 = 4.
Шаг 2. AB = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Шаг 3. Середина: x = (1 + 4)/2 = 2,5; y = (2 + 6)/2 = 4.
Шаг 4. Ответ: AB = 5, середина M(2,5; 4).Частые ошибки. В формуле расстояния разности обязательно возводят в квадрат, поэтому знак «минус» исчезает и порядок точек неважен. Для середины берут полусумму (делят на 2), а не разность координат. Следите за скобками: сначала выполняется вычитание, и только потом возведение в квадрат.
Кратко о главном
- Метод координат описывает каждую точку парой чисел
(x; y). - Координаты вектора — это разность координат конца и начала.
- Расстояние между точками:
√((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²). - Координаты середины отрезка — полусумма координат его концов.
- Формула расстояния следует из теоремы Пифагора.